52. Теорема Бернулі.

У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів. Якщо ймовірність настання події в кожному з випробувань стала, то ймовірність того, що подія настане разів в незалежних випробуваннях дорівнює

або

Імовірність однієї складної події, яке полягає в тому, що в n випробуваннях подія А настане рівно k разів і не настане n - k разів, за теоремою множення незалежних подій дорівнює . Таких складних подій може бути стільки, скільки можливо скласти комбінацій з n елементів по k елементам, тобто . Так як ці складні події несумісні, то за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складних подій. Так як імовірності всіх цих складних подій однакові, то шукана ймовірність (поява k разів події А в n випробуваннях) дорівнює ймовірності однієї складної події, помноженої на їх кількість:

53. Теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова - теорема в теорії ймовірностей, що встановлює деякі загальні достатні умови для збіжності розподілу сум незалежних випадкових величин до нормального закону. Часто доводиться мати справу з такими випадковими величинами, які є сумами великого числа незалежних випадкових величин. При деяких досить загальних умовах виявляється, що ця сума має розподіл, близьке до нормального, хоча кожне з доданків може не підкорятися нормальному закону розподілу ймовірностей. Ці умови були знайдені Ляпуновим і становлять зміст теореми, названої його ім'ям. Нехай з \ xi_1, \ xi_2, ..., \ xi_n, ... послідовність попарно незалежних випадкових величин з математичними очікуваннями M (\ xi_i) = \ alpha_i і дисперсіями D (\ xi_i) = \ sigma_i ^ 2, причому ці величини мають такими двома властивостями: 1) Існує таке число L, що для будь-якого i має місце нерівність \ mid \ xi_i - M (\ xi_i) \ mid <L, т, е. всі значення випадкових величин, як кажуть, рівномірно обмежені, щодо математичних очікувань; 2) Сума \ sum_ {i = 1} ^ n \ sigma_i ^ 2 необмежено росте при n \ to \ infty Тоді при досить великому n сума \ xi = \ xi_1 \ xi_2 ... \ Xi_n має розподіл, близьке до нормального. Нехай \ alpha і \ sigma ^ 2 математичне сподівання і дисперсія випадкової величини \ xi = \ xi_1 \ xi_2 ... \ Xi_n. Тоді

де —інтервал імовірності.Ξερω/

55. Мета комбінування суцільного і вибіркового спостереження.

За ступенем охоплення одиниць сукупності, яка досліджується, розрізнюють суцільне і не суцільне спостереження. Суцільне спостереження – це спостереження, при якому реєстрації належать всі без виключення одиниці сукупності, яка досліджується. Наприклад, перепис населення, збір даних у статистичних, фінансових, податкових формах звітності, які охоплюють підприємства усіх форм власності, установи, організації, реєстрація народження і смерті тощо. Вибіркове спостереження застосовують для того, щоб грунтуючись на даних щодо певної частини одиниць досліджуваної сукупності (тобто вибіркової сукупності), одержати узагальнюючу характеристику всієї генеральної сукупності. Вибіркове спостереження є однією з форм 'несуцільного спостереження. Слід твердо засвоїти, не всяке несуцільне спостереження є вибірковим, а лише таке, за якого кожна одиниця генеральної сукупності має рівну можливість потрапити у вибіркову сукупність. Така можливість при доборі одиниць у вибіркову сукупність забезпечується киданням жеребка, застосуванням таблиць випадкових чисел і т.ін.

56. Визначення необхідної чисельності вибірки для середньої і частки при повторному і без повторному відборі.

57. Поняття та сутність взаємопроникаючої та квантивної вибірки.

58. Основні недоліки вибіркового спостереження.

59. Суть моментних спостережень.

Моментні спостереження- спосіб реєстрування фактів на певну дату або момент. Моментні спостереження здійснюють тоді, коли досліджуване явище не характеризується швидкими змінами. Напр., зміни у складі населення, у розподілі його за соціальними ознаками, статтю, віком та ін. Вони можуть бути добре відображені при повторенні перепису населення через більш-менш тривалі проміжки часу. Класичними взірцями моментних спостережень є й такі переписи, за яких усі статистичні одиниці об'єкта спостереження реєструються за станом на встановлену дату і годину, так званий критичний момент перепису. Моментні спостереження дають вихідні дані для обчислень, які провадяться на підставі поточного спостереження, вони уточнюють і доповнюють поточне спостереження, яке не можна проводити за такою широкою програмою, як моментне. Тому показники, що не охоплені поточним обліком, реєструються під час моментних спостережень.