6.3. Основные свойства средней арифметической величины.

Средняя арифметическая величина обладает многими математическими свойствами, имеющими важное математическое значение при ее расчёте. Знание этих свойств помогают контролировать правильность и точность расчёта средней варианты, способствует упрощению процесса расчёта среднего значения признака.

Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонения обозначить через ; …..; Сумма всех индивидуальных отклонений, например, в ранжированном ряду будет: Поскольку

Первое свойство теоретически показывает и по отношению к средней арифметической взвешенной. В этом случае сумма взвешенных положительных отклонений от среднего значения признака равняется сумме отрицательных отклонений, а общая сумма всех отклонений равна нулю, т.е. Σ (х-х) f=0.

Первое свойство используется обычно для проверки правильности расчёта средней арифметической величины.

Второе свойство. Величина средней не изменится, если частоты (частости) или веса при каждой варианте признака увеличится или уменьшится в одинаковое число раз.

Действительно, если то, например умножив все частоты на постоянную величину α, получим ту же величину средней:

Третье свойство. Если все индивидуальные варианты вариационного ряда увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число. Обычно в качестве постоянного числа выбирается варианта, расположенная в середине вариационного ряда, что позволяет значительно упростить нахождение средней. Расчёт средней арифметической величины с применением этого свойства, принято называть методом моментов.

Четвёртое свойство. Произведение средней величины на накопленную сумму частот равняется сумме произведения каждой варианты на ее частоту, т.е.

Это свойство вытекает из формулы арифметической взвешенной величины, т.е. если

В сельскохозяйственной сфере АПК, например, произведения средней урожайности на общую посевную площадь даст валовой сбор, а произведение среднегодового удоя на общее поголовье коров позволяет получить валовой надой молока.

6.4. Cредняя хронологическая величина.

Одной из разновидностей средней арифметической величины является средняя хронологическая. Среднюю величину, исчисленную по совокупности значений признака в разные моменты или за различные периоды времени, принято называть средней хронологической. Её применяют для нахождения среднего уровня в динамических рядах.

В отличие от вариационного ряда, характеризующего изменение явлений в пространстве, динамический ряд представляет собой такой ряд чисел, который характеризует изменение явлений во времени. Ряды динамики иногда называют временными или хронологическими.

В зависимости от вида динамических рядов для определения их средней уровень могут быть применены расчёта средней хронологической величины. Так, при нарождении среднего уровня в периодическом ряду динамики возможно применение средней арифметической простой или взвешенной (см. формулы 6.4. 6.5). если же необходимо рассчитать средний уровень момента ряда динамики воспользоваться приемом средней хронологической моментного ряда с равными интервалами:

(6.6)

где - порядковые уровни моментного ряда; n – число моментов ряду.

Например, в сельскохозяйственном предприятии (СХП) по состоянию на начало каждого месяца 2004 г. имелось следующее поголовье свиней:

на 1 января – 500 голов;

на 1 февраля – 600 голов;

на 1 марта – 800 голов;

на 1 апреля – 1000 голов.

По этим данным необходимо определить среднеквартальную численность свиней в СХП.

Условно считается, что промежутки (интервалы) времени между начальными моментами (датами) каждого предыдущего и последующего месяца равны между собой. Следовательно, для расчёта среднеквартального поголовья свиней можно применить формулу 6.6. подставив соответствующее данные в эту формулу, получим:

Это означает, что в среднем ежемесячно за первый квартал 2004 г. в СХП имелось 717 голов свиней.

В тех случаях, когда необходимо определить средний уровень моментного ряда динамики с неравными промежутками между моментами, обычно используют формулу средней арифметической взвешенной величины (6.5).

Например, численность работников в бригаде СХП составляла: на 1 апреля – 20 человек, на 11 апреля –25, на 30 апреля – 36 человек. Необходимо рассчитать среднемесячную численность работников в бригаде за апрель.

Как видно из приведённых данных, промежутки времени между указанными моментами (датами) не равны между собой: можно предположить, что в бригаде было на протяжении 1 дня – 20 человек., 10 дней – 25 чел., 19 дней – 36 чел. Следовательно, для расчета среднемесячной численности работников в бригаде воспользуемся формулой 6.5; получим:

Таким образом, за апрель в бригаде СХП численность в среднем 32 работника.

В системе агропромышленного комплекса средняя хронологическая величина может применяться при расчёте средней годовой, квартальной, месячной численности работников, поголовья различных видов и групп сельскохозяйственных животных, наличия различных видов машинно-тракторного парка и других случаях.