Определения

• — угол отклонения маятника от равновесия;

• — начальный угол отклонения маятника;

• — масса маятника;

• — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;

• — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

• — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

Уравнение динамики вращательного движения для физического маятника в проекции на ось вращения в случае его малых колебаний запишем в виде:

M_z = ·'' = - m·g·l·sin = - m·g·l·.

Решение этого уравнения имеет следующий вид:

(t) = _max·sin(w₀·t + ₀), где w₀ = (m·g·l/I)^1/2.

Для математического маятника момент инерции и значение собственной частоты колебаний будут равны: 

I = m·l² и  w₀ = (g/l)^1/2.

Собственную частоту физического маятника можно представить в виде, аналогичном выражению для математического маятника:

w₀ = (g/l_прив)^1/2,  где l_прив = I/(m·l) - приведенная длина маятника.

_2. Гармонические колебания: основные характеристики колебаний. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. Математический и физический маятники.

Определение гармонических колебаний. Гармоническими называются колебания, при которых описываемая физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение кинематики гармонических колебаний имеет следующий вид:

x = A·cos(2p·t/T + f0), (9.1)

где х - колеблющаяся величина,

t - время;

А, Т, f - константы для данного колебания, называемые параметрами.

Гармонические колебания являются частным случаем периодических колебаний.

Параметры гармонических колебаний. Постоянные величины А, Т, f, входящие в уравнение (9.1), называются параметрами колебания. Рассмотрим их физический смысл.

Из (9.1) следует, что в случае, если соs(2p·t/Т + f) = ± 1, то значение модуля x максимально, т.е. |x| = xmax = A. Величину А, равную наибольшему значению колеблющейся физической величины, назовем амплитудой колебания.

В случае изменения времени на величину, кратную T, аргумент функции косинус изменится на величину, кратную 2p, а х и ее производная примут первоначальные значения:

x(t) = x(t + n·T), u(t) = u(t + n·T)

где Т - период, минимальное время, по истечение которого процесс колебаний полностью повторяется$

n - целое число.

Период колебаний - наименьшее время по истечении которого движение полностью повторяется, т.е. сама колеблющаяся величина и ее скорость принимают прежние значения.

Величина, обратная периоду колебаний Т, называется частотой n = 1/Т. Частота - есть число колебаний, совершаемое системой, за 1 секунду. Циклическая или круговая частота - есть число колебаний за 2p секунд w = 2p/Т = 2p·n.

Мгновенное значение физической величины х определяется значением аргумента функции косинус, который называется фазой колебаний:

Ф = w·t + f0.

Фаза колебаний Ф линейно растет со временем (см. рис. 9.2). При t = 0 значение Ф равняется f0, которое называется начальной фазой колебания. Начальную фазу можно рассчитать, исходя из значения физической величины в начальный момент времени и известной амплитуды колебаний:

х(0) = х0 = А·cos f0; cos f0 = х0/A.

Следовательно, f0 зависит от выбора начала отсчета времени.

Например, если для колебаний, описываемых уравнением (9.1), x(0) = х0 = 0, то f0 = p/2, если

x(0) = х0 = А, то f0 = 0.

В случае, если амплитуда колебаний не известна, то для нахождения начальной фазы и амплитуды колебаний кроме начального смещения необходимо знать начальное значение скорости колеблющегося тела.

Большое значение для анализа сложного колебательного движения имеет понятие разности фаз двух колебаний: DФ = Ф2 - Ф1. Если колебания синхронные (т.е имеют одинаковую частоту), то величина DФ не зависит от времени и они происходят с постоянным сдвигом фаз. Пример такого рода колебаний приведен на рис. 9.3. Колебание величины x1 = A1·sin(w·t) опережает колебание x2 = A2·sin(w·(t - t)).

Если колебания несинхронные, то величина DФ зависит от времени.

Синхронными называются гармонические колебания, имеющие одинаковые частоты.

Сдвиг фаз можно выразить в радианах и в долях периода. Пусть колебания подчиняются уравнениям:

x1 = A1·sin(2p·t/T);

x2 = A2·sin(2p·(t - t)/T),

где t - время запаздывания 2-го колебания относительно 1-го.

Второе колебание можно представить в следующем виде:

x2 = A2·sin(2p·t/T - 2p·t/T).

Очевидно, f1 - f2 = 2p·t/Т. (9.2)

Из уравнения (9.2) следует, что если t = Т/4, то f1 - f2 = p/2, а при t = Т/2, сдвиг фаз f1 - f2 = p.

Колебания, происходящие со сдвигом фаз p, называются антифазными. Имеется некоторая неопределенность в отставании и опережении на p. Нельзя сказать, которое из колебание отстает, т. к. математически эти утверждения эквивалентны. Рассмотрим случай, когда х2 отстает от х1 больше, чем на p (см. рис. 9.4). Сдвиг по фазе Ф1 - Ф2 = p + Df' характеризует отставание 2-го колебания от 1-го. Из графика видно, что такое отставание эквивалентно опережению 2-м колебанием 1-го на угол Ф2 - Ф1 = p - Df'. Такой же результат получим и математически, исходя из тригонометрического равенства:

sin(p + Df) = sin(p - Df).

Чтобы не было этой неопределенности, условились сдвиг фаз задавать в диапазоне от 0 до p.

Влияние параметров колебаний на их вид вы можете наблюдать на графиках, которые построите самостоятельно.

Кинематические характеристики гармонических колебаний. Найдем скорость и ускорение при колебательном движении, описываемого уравнением:

x = A·cos(w·t + f0).

Поскольку скорость u - есть производная от координаты по времени, а ускорение a - соответствующая производная от скорости, то эти величины зависят от времени также по гармоническим законам:

u = A·w·cos(w·t + f0);

a = - A·w2·sin(w·t + f0) = - w2·x. (9.3)

Выполнение соотношения (9.3) является характерным признаком гармонического колебательного движения. Для такого движения скорость опережает по фазе смещение на p/2, а ускорение - на p.

Представление гармонических колебаний с помощью метода векторных диаграмм. В ряде случаев оказывается полезным представить колебания скалярных величин с помощью векторов. Данный способ называется методом векторных диаграмм.

В чем сущность этого метода? Для представления величины x, изменяющейся по гармоническому закону x = A·cos(w·t + f0), изобразим на произвольной оси X вектор r, исходящим из точки O (см. рис. 9.5). Пусть длина данного вектора равна амплитуде A, а угол с осью X равен фазе Ф.

Допустим, что вектор r вращается вокруг точки O с угловой скоростью w против часовой стрелки, что соответствует положительному направлению отсчета углов. Тогда угол между вектором и осью, равный фазе колебаний, будет изменяться по закону Ф(t) = w·t + f0. Значение физической величины x в любой момент времени зададим как проекцию вектора r на ось Х:

rx = x = A·cos(w·t + f0).

Итак, скалярное гармоническое колебание можно представить как проекцию вектора с амплитудой A, который вращается вокруг закрепленной точки O с постоянной угловой скоростью w.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени
Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на p/2.
Величина - максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).
Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: ,   а для случая нулевой начальной фазы (см. график).
Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени: -   вторая производная от координаты по времени. Тогда: .   Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на p/2 и колебания смещения на p (говорят, что колебания происходят в противофазе).
Величина   - максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: ,   а для случая нулевой начальной фазы: (см. график).
Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях: и .
Можно записать: -   т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.
Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: ,   где T – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: . Аналогично для скорости и ускорения.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Физический маятник — Физическим маятником называется твердое тело, колеблющееся относительно неподвижной горизонтальной оси (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести.