1. Елементарна формула

або

де   - Нормальне (доцентрове) прискорення,   - (Миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії,   - (Миттєва) кутова швидкість цього руху щодо центру кривизни траєкторії,   - Радіус кривизни траєкторії в даній точці. (Язок між першою формулою і другий очевидна, враховуючи   ).

Вирази вище включають абсолютні величини. Їх легко записати у векторному вигляді, домножити на   - Одиничний вектор від центру кривизни траєкторії до даної її точки:

Ці формули одно застосовні до випадку руху з постійною (по абсолютній величині) швидкістю, так і до довільного нагоди. Однак у другому треба мати на увазі, що доцентрове прискорення не є повний вектор прискорення, а лише його складова, перпендикулярна траєкторії (або, що те ж, перпендикулярна вектору миттєвої швидкості); на повний же вектор прискорення тоді входить ще й тангенціальна складова ( тангенціальне прискорення)   , У напрямку збігається з дотичною до траєкторії (або, що те ж, з миттєвою швидкістю) ^[1].

2. Мотивування та висновок

Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти - одну уздовж дотичного до траєкторії вектора (тангенціальне прискорення) та іншу ортогональну йому (нормальне прискорення) - може бути зручним і корисним, досить очевидно саме по собі. Це посилюється тим, що при русі з постійною за величиною швидкістю тангенціальна складова буде рівною нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається тільки нормальна складова. Крім того, як можна побачити нижче, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості і структуру, і нормальне прискорення містить у структурі своєї формули досить важливе і нетривіальне геометричне наповнення. Не кажучи вже про важливе окремому випадку руху по колу (який, до того ж, практично без зміни може бути узагальнений і на загальний випадок).

2.1. Геометричний висновок для нерівномірного руху по колу

2.2. Геометричний висновок для довільного руху (по довільній траєкторії)

2.3. Формальний висновок

Розкладання прискорення на тангенціальну і нормальну компоненти (друга з яких і є доцентрове або нормальне прискорення) можна знайти, продифференцировав по часу вектор швидкості, представленнний у вигляді   через одиничний вектор дотичної   :

де перший доданок - тангенціальне прискорення, а друге - нормальне прискорення.

Тут використано позначення   для одиничного вектора нормалі до траєкторії і   - Для поточної довжини траєкторії (   ); В останньому переході також використано очевидне   .

Далі можна просто формально назвати член

- Нормальним (доцентровим) прискоренням. При цьому його сенс, сенс входять до нього об'єктів, а також доказ того факту, що він дійсно ортогонален дотичний вектор (тобто що   - Дійсно вектор нормалі) - буде слідувати з геометричних міркувань (втім, те, що похідна будь-якого вектора постійної довжини за часом перпендикулярна самому цьому вектору, - досить простий факт, у даному випадку ми застосовуємо це твердження для   ).

3. Зауваження

Легко помітити, що абсолютна величина тангенціального прискорення залежить тільки від колійного прискорення, співпадаючи з його абсолютною величиною, на відміну від абсолютної величини нормального прискорення, яка від колійного прискорення не залежить, зате залежить від шляхової швидкості.

Наведені тут способи або їх варіанти можуть бути використані для введення таких понять, як кривизна кривої і радіус кривизни кривої ^[2] (оскільки в разі, коли крива - коло, R збігається з радіусом такої окружності; не надто важко також показати, що оружно в площині   з центром в напрямку   від даної точки на відстані R від неї - буде збігатися з даної кривої - траєкторією - з точністю до другого порядку малості по відстані до даної точки).