1.2 Фильтр Калмана-Бьюси

Фи́льтр Ка́лмана ‒ мощный инструмент обработки данных, используется в широком спектре задач от радиолокационного наблюдения до систем технического зрения, является важной частью теории управления. Годом изобретения линейного алгоритма считается 1960-й, назван в честь инженера Рудольфа Калмана, хотя датский математик Торвальд Николай Тиле разработал аналогичный метод еще в 1880 году, американский математик Питер Сверлинг ‒ в 1958. Математик Ричард Бьюси внес большой вклад теорию алгоритма, поэтому фильтр часто называют фильтром Калмана-Бьюси, иногда фильтр называют фильтр Стратоновича-Калмана-Бьюси, поскольку он является частным случаем решения задачи оптимальной нелинейной фильтрации, разработанного в 1958 году советским математиком Русланом Стратоновичем [29]. Впервые алгоритм линейной фильтрации описан и частично разработан в работах Сверлинга, Калмана [12], Калмана и Бьюси [13], впервые применен в навигационной системе американского космического корабля Аполлон-11, выполнившего посадку на Луне 20 июля 1969 года.

Алгоритм фильтра Калмана и его модификации широко используются для оценки состояния и управления системами, поведение которых хорошо описывается стохастическим динамическим процессом в пространстве состояний. Его популярность обусловлена тем, что в установившемся режиме Фильтр Калмана формирует оценки, оптимальные по критерию наименьшей СКО (НСКО), но только в условиях так называемого линейно-гауссового допущения.

1.2.1 Линейный Фильтр Калмана

Динамика вектора состояния системы описывается линейными выражениями вида (1):

(5)

где ‒ вектор состояния системы в момент дискретного времени, с ковариационной матрицей ошибок , ‒ матрица перехода системы, отражающая взаимосвязь значений предыдущего и последующего вектора параметров. ‒ матрица усиления динамического шума, проецирует параметры шума на пространство параметров состояния, ‒ векторный БГШ с нулевым средним и ковариационной матрицей:

(6)

Линейная модель наблюдения определена выражением вида (2):

(7)

где ‒ вектор наблюдаемых параметров, ‒ матрица проекции пространства состояний на пространство наблюдений, задает закон преобразования вектора вектор ; ‒ БГШ наблюдения с нулевым средним и ковариационной матрицей:

(8)

Шумовые последовательности и предполагаются взаимно независимыми и некоррелированными, . В диагональных элементах матриц и расположены дисперсии динамической и флюктуационной ошибок оценивания, соответственно.

При синтезе ФК матрицы , , и задаются как известные постоянные или переменными во времени параметры. На практике статистические характеристики шумов нестационарны, а фильтрующие свойства фильтра Калмана изменяются с течением времени.

Линейность уравнений (5) и (7) позволяет сохранить гауссово свойство для векторов состояния и измерения, таким образом (5) и (7) являются гауссово-марковскими процессами. Линейность уравнений состояния и наблюдения системы, гауссовость распределений параметров, гауссовость и взаимная независимость шумов в совокупности составляют так называемое линейно-гауссовое допущение для стохастической динамической системы. В условиях истинности такого допущения оценки состояния ФК оптимальны по критерию наименьшей СКО, кроме того в этих условиях оценки по критерию НСКО совпадают с оценками по критерию максимума апостериорной вероятности. Начальное состояние , в общем случае ‒ неизвестно, моделируется как нормальная случайная величина.

Алгоритм ФК состоит из этапов экстраполяции и обновления состояния системы, при этом каждая из координат обрабатывается независимо. Экстраполяция вектора параметров и ковариационной матрицы оценки состояния производится по формулам:

(9)

(10)

где ‒ экстраполированный на -й момент по измерениям вектор состояния системы, ‒ обновленный на момент по измерениям вектор состояния системы. ‒ экстраполированная на -й момент ковариационная матрица состояния системы, ‒ обновленная на момент ковариационная матрица состояния системы. ‒ минимальная ковариационная матрица формирующего шума , имеет вид: , где ‒ CКО случайных ускорений, ‒ единичная квадратная матрица, имеющая размер вектора измерений.

Далее рассчитывается матричный коэффициент усиления и корректируется экстраполированный вектор и ковариационная матрица состояния с учетом очередного наблюдения :

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

где ‒ вектор невязок экстраполированных и измеренных параметров, ‒ расчетное значение ковариационной матрицы вектора невязок оптимального фильтра, ‒ матричный коэффициент усиления фильтра Калмана, , ‒ обновленный вектор и ковариационная матрица состояния системы. Получив очередное -е измерение, рассчитав оценку состояния, обращаются к уравнениям предсказания на следующий такт. Затем алгоритм начинает работу заново, то есть является рекурсивным.

Выражения (9) ‒ (15) называются алгоритмом фильтра Калмана [1], [4], [5], [10], [21], примечательны тем, что пригодны для непосредственной реализации на вычислительном устройстве вторичной обработки РЛИ. Блок-схема фильтра Калмана представлена на рисунке 2.

Вектор состояния в момент

Ковариационная матрица в момент

Оценки вектора состояния а момент

Экстраполяция

состояния

Экстраполяция ковариационной

матрицы состояния

Экстраполяция вектора состояния

Переход состояния в

Экстраполяция наблюдения

Ковариация невязки

Обновление

состояния

Наблюдение состояния в

Невязка экстраполированного и полученного измерения

Матричный коэффициент усиления фильтра Калмана

Обновление ковариационной матрицы состояния

Обновление вектора состояния

Рисунок 2. Блок-схема алгоритма линейного фильтра Калмана

Отметим, что обновляющий процесс или невязка при линейном оптимальном фильтре представляет собой нормальный процесс типа БГШ с средним:

(16)

где ‒ момент начала маневра, ‒ вектор проекций ускорения, характеризующего интенсивность маневра (поворота).

С момента начала маневрирования ВЦ, обновляющий процесс уже не обладает нулевым средним и расчетной ковариационной матрицей оптимального фильтра, ФК теряет согласованность по отношению к изменившемуся режиму движения. Это свидетельствует о том, что обнаружение маневра может быть основано на принципе контроля в реальном времени обновляющей последовательности и выявления отклонения ее среднего значения от нуля, а самой последовательности от гауссовского некоррелированного процесса. Естественно, в качестве решающей статистики может быть использована не сама вектор обновляющей последовательности, а некоторая функция этой последовательности [1], [4], [5].

Для линейного оптимального ФК существует нижняя граница дисперсии оценки, граница Крамера-Рао, находится из решения матричного уравнения Риккати:

(17)

Решением уравнения Риккати является оптимальный коэффициент усиления ФК в установившемся режиме, определяющий ковариационную матрицу оценки состояния в установившемся режиме работы ФК. Если параметры системы являются инвариантными по времени ( , и – константы), а шумы стационарны ( и – константы), то уравнение Риккати (17) сводится к постоянной матрице при . В результате коэффициенты усиления при сводятся к постоянному значению и оценки параметров практически перестают зависеть от наблюдаемых данных. Следствием этого является то, что возможные маневры объекта, даже небольшой интенсивности, никак не будут учтены [1], [4], [5]. Эта трудность преодолевается методами теории адаптивной фильтрации, о которых пойдет речь в следующих разделах диссертации.

Дискретный рекуррентный линейный алгоритм ФК обладает следующими полезными свойствами:

• уравнения фильтра имеют рекуррентную форму и хорошо подходят для реализации на цифровых вычислителях;

• уравнения фильтра одновременно представляют собой непосредственное описание способа реализации фильтра, причем часть фильтра подобна модели траектории объекта;

• ковариационная матрица оценки параметров системы вычисляется независимо от оценки состояния и результатов измерения , определяются только параметрами ковариации шумов и и моделью динамики и наблюдения системы. Следовательно, если заданы статистические характеристики динамических флюктуационных ошибок, то ковариационную матрицу можно вычислить заранее для каждой точки координатного пространства и хранить в запоминающем устройстве, что значительно сокращает время выполнения алгоритма фильтрации параметров. При такой реализации алгоритма ФК коэффициент усиления также может быть рассчитан не в реальном масштабе времени.

Согласно (13) матричный коэффициент усиления ФК прямо пропорционален ковариационной матрице экстраполированного наблюдения и обратно пропорционален ковариационной матрице невязки. Таким образом, коэффициент усиления ФК [5]:

• Большой, когда состояние системы экстраполируется не точно (имеет большую дисперсию), а измерение проводится точно, то есть имеет относительно малую дисперсию, ;

• Малый, когда состояние системы экстраполируется точно (имеет небольшую дисперсию), а измерение проводится с крупными ошибками, то есть имеет относительно большую дисперсию, ;

Большой коэффициент усиления означает, что ФК при формировании оценки состояния (14) более чувствителен к измерению, и менее учитывает экстраполированные значения параметров состояния; малый коэффициент усиления увеличивает фильтрующие свойства алгоритма ФК, что выражается в слабом отклике (уменьшении «веса») на измерение. Если , фильтрация не проводится, за оценку состояния берется очередное поступившее измерение . , наблюдение не учитывается, за оценку состояния берется ее экстраполированное значение . В частотной области такое свойство в поведении коэффициента усиления соответствует расширению/сужению полосы пропускания фильтра [5], [8], [9].

Полоса пропускания фильтра сопровождения зависит от согласования с флюктуационной и динамической ошибкой сопровождения, за нее отвечают ковариационные матрицы и , соответственно. Флюктуационная ошибка возникает в результате воздействия шума в канале наблюдения. Динамическая ошибка появляется из-за несоответствия принятой модели движения и реальной траектории ВЦ, что может привести к срыву сопровождения, это происходит, например, при сопровождении маневрирующей цели алгоритмом с моделью динамики, соответствующей движению с постоянной скоростью. Для устойчивого сопровождения маневрирующих (имеющих ненулевые поперечные ускорения) ВЦ, необходимо расширять полосу пропускания ФК, например, за счет увеличения заданных значений дисперсий случайных ускорений в элементах матрицы до требуемых, зависящих от маневренных возможностей объекта сопровождения, а именно максимально возможного поперечного ускорения по каждой координате и допустимых перегрузок. Другими словами следует согласовывать параметры модели динамики с интенсивностью маневра. Полоса пропускания одномодельного фильтра сопровождения должна быть меньше или равна энергетическому спектру маневра цели. Это позволит снизить ошибку оценки координат на участках выполнения маневра, но при этом ошибка сопровождения на участках прямолинейного движения неизбежно возрастет, в силу физического смысла полосы пропускания фильтра нижних частот [1], [5], [8], [9]. Отношение называется коэффициентом редукции шума, позволяет оценить уменьшение СКО оценки положения после фильтрации по отношению к СКО оценки положения измерителя.

В следующем подразделе раздела 1.2 диссертации будут рассмотрены вопросы применения линейного ФК для сопровождения одиночной воздушной цели по данным обзорной РЛС, обеспечивающей радиолокационный контроль в системе управления воздушным движением (УВД).