Фрагмент обобщённого анализа линейных цепей. Воспользуемся одним из математических пакетов, например Mathcad и проведём анализ в общем виде для линейной цепи вида:

При этом будем полагать, что ёмкость заряжена, а величина заряда в начальный момент исследования равна Q(0)=Q₀, и изменения отсутствуют, то есть . Предполагая возможность разряда ёмкости через входную цепь, составим дифференциальное уравнение для заряда на элементах рассматриваемой цепи:

.

Преобразуем полученное уравнение с учётом введённых параметров:

; и ;

,

решение которого будет иметь вид:

; ;

.

Для демонстрации расчётов введём произвольные (безразмерные) численные данные: Q₀=1; R=1; L=1; C=0.01 и для временного интервала , (примем T=5), построим графики точного решения дифференциального уравнения и приближенного на основе процедуры Булиш-Стоера, имеющейся в Mathcad-пакете. Для этого на выбранном временном интервале зададим желаемое число расчётных точек, например N=10 и выполним требования для приближенного расчёта:

;

; .

Результаты расчётов приведены на рисунке, где «ромбики» соответствуют приближенному решению дифференциального уравнения. Из рисунка видно полное совпадение рассматриваемых методов.

Изменим численные данные, приближая их к требованиям РГЗ: Q₀=1; R=1; L=0.01; C=1. Эти условия эквивалентны отсутствию индуктивности в исследуемой цепи, тогда при тех же прочих требованиях результаты расчётов, отражающие изменение заряда на ёмкости, будут иметь вид, приведённый на рисунке:

Задание 4. Корреляционный анализ сигналов

Характеристикой быстротечности изменения сигналов во временной области являются их корреляционные функции. Для примера необходимо

 выполнить корреляционный анализ периодических и непериодических сигналов;

 построить графики корреляционных функций и провести сравнительный анализ.

Методические указания

Корреляционный анализ периодических сигналов проводится по формуле:

.

При =0, T, 2T, ... получают пиковые значения, численно равные средней мощности сигнала:

.

Для непериодического сигнала автокорреляционная функция в общем случае определяется выражением:

,

где s(t-)  задержанная на время  копия исследуемого сигнала. При =0 корреляционная функция непериодического сигнала максимальна и равна энергии исследуемого сигнала:

.

При вычислении корреляционных интегралов следует правильно выбирать пределы интегрирования, которые должны учитывать область перекрытия исходного сигнала и его смещённой на время  копии.

Фрагмент обобщенного корреляционного анализа. При исследовании реальных сигналов возникает необходимость нахождения корреляционных взаимосвязей не только во временной, но и в частотной областях. Характерным примером является радиолокационный сигнал, отраженный от движущегося объекта, содержащий как временное смещение, так и доплеровское смещение по частоте. В этом случае целесообразно использовать обобщённую корреляционную функцию. Так для одиночного прямоугольного видео импульса с единичной амплитудой расположенного в пределах 0_и на временной плоскости, обобщённую корреляционную функцию можно вычислить по формуле:

,

где  и  отражают частотное и временное смещение сигнала. Результаты расчётов представлены в виде фрагмента пространственного графика на рис. 1 модуля обобщённой корреляционной функции при _и=1 и 08, а на рис. 2 приведены сечения   во временной и частотной областях.

Рис. 1

Анализируя поведение функций, представленных на рисунках можно сделать выводы о характере изменения взаимосвязей исследуемых сигналов, как во временной, так и в частотной областях. В частности, из рис. 2а видно, что при =0 корреляционная функция прямоугольного видеоимпульса имеет вид треугольной функции.

По рис. 2б можно судить о характере изменения взаимосвязей прямоугольного видеоимпульса в частотной области и оценить количественно ширину и уровень как центрального, так и боковых лепестков, а также скорость изменения их интенсивности.

Задание 5. Исследование случайных сигналов

При исследовании случайных сигналов необходимо:

 выполнить аналитическое описание случайных сигналов;

 найти вероятностные характеристики заданной модели случайного процесса на входе и выходе линейной цепи;

 исследовать характеристики аддитивной смеси на входе и выходе линейной цепи, отмечая изменение отношения сигнал/помеха.