Методические указания

Спектральная плотность непериодического сигнала определяется выражением [1, 2]:

(6)

где  модуль и аргумент спектральной плотности и  косинусная и синусная составляющие S(j). Коэффициенты и спектральная плотность S(j) определяются соотношением:

.

Кроме того, в большинстве случаев значение спектральной плотности при =0 численно равно площади графика s(t), то есть:

.

Для чётных сигналов спектральная плотность является действительной функцией частоты и равна:

, (7)

а аргумент равен:

В случае нечётного сигнала спектральная плотность является чисто мнимой величиной:

,

и аргумент спектральной плотности равен:

При смещении сигнала в сторону запаздывания на модуль спектральной плотности не изменяется, а к аргументу добавляется . На основании этого, например, для спектральной плотности задержанного сигнала получим:

.

При оценке эффективной ширины спектра непериодического сигнала находят область частот, в которой сосредоточено более 90% энергии сигнала, которая может быть найдена из равенства Парсеваля:

, (8)

и эффективная ширина спектра определяется из уравнения:

.

С другой стороны эффективная ширина спектра может быть, найдена как:

, (9)

а эффективную длительность сигнала получают из соотношения:

.

Получив формулы для расчёта S(j) и , составляют таблицы численных значений, по которым строятся графики амплитудных и фазовых спектрограмм, проводится их анализ, и делаются выводы.

Задание 3. Преобразование сигналов в линейных цепях

При исследовании преобразования сигналов в линейных цепях необходимо для заданного варианта сигнала и линейной цепи (приложение) получить:

 аналитические выражения для коэффициента передачи линейной цепи K(jw), импульсной характеристики g(t) и переходной характеристики цепи h(t);

 построить графики полученных характеристик;

 получить выражение сигнала на выходе линейной цепи спектральным или временным методами и построить график сигнала на выходе;

 дать оценку полученным результатам и сделать вывод о характере преобразования сигнала.

Методические указания

Аналитическое выражение для коэффициента передачи цепи K(j) в общем виде можно получить из рисунка

,

где и могут быть образованы параллельным или последовательным соединением резистивных и реактивных сопротивлений, а K()  амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и  фазочастотная характеристика (ФЧХ) линейной цепи. Наряду с передаточной характеристикой K(j), линейные цепи могут быть исследованы с помощью временных характеристик  импульсной g(t) и переходной h(t). Импульсной характеристикой является отклик цепи (сигнал на её выходе) при воздействии на входе дельта-импульса  (t), а переходной характеристикой является отклик цепи при подаче на вход единичного скачка  (t) (функции включения). Для нахождения временных характеристик сигналов и цепей целесообразно использовать операторный метод и таблицы операционного исчисления.

Спектральный метод исследования преобразования сигналов в линейных цепях является наиболее простым, так как процесс нахождения сигнала на выходе цепи сводится к операции умножения значений составляющих, например, периодического сигнала на значения передаточной функции в соответствующих точках частотной области. Выходной сигнал находится в виде суммы откликов линейной цепи на каждую составляющую ряда, которым представляется входной сигнал. Сигнал на выходе линейной цепи можно представить суммой:

,

где K(0), K(n_о) и _k(n_o)  значения АЧХ и ФЧХ линейной цепи на частотах n_o; N  максимальный номер гармоники, которая учитывается при расчётах и уровень которых на основе амплитудного метода составляет, например, 0.1 от максимального.

Выполняя расчёты необходимо выбрать численные значения временного интервала , определяющего число отсчётов во временной области для сигнала на входе. Основой для этого является теорема отсчётов [1, 2], в соответствии с которой , где F_m  максимальная частота спектра входного сигнала; T  период повторения. Мгновенные значения выходного сигнала рассчитываются в точках . Тогда сигнал на выходе линейной цепи можно рассчитать по формуле:

. (10)

Для непериодического сигнала спектр сигнала на выходе определяется составляющими, ограниченными полосой пропускания линейной цепи, то есть , а, применяя обратное преобразование Фурье, можно найти:

.

Следуя временным методом расчёта сигнала на выходе линейной цепи с использованием импульсной g(t) и переходной h(t) характеристик, используют соотношения:

или

,

где  производная входного сигнала.

Иногда для нахождения сигнала на выходе используют метод приближенного вычисления интеграла. При этом операция интегрирования заменяется суммированием площадей прямоугольников, которыми можно аппроксимировать подынтегральное выражение. Так для сигнала на выходе

,

где S() и K()  модули спектральной плотности сигнала и коэффициента передачи, а и  фазовые характеристики входного сигнала и фильтра;  полоса пропускания линейной цепи, если ширина прямоугольников , а высота совпадает со значением подынтегральной функции на частоте , то выборочные значения выходного сигнала будут равны:

,

где ; .

По аналогии можно рассчитать значение выходного сигнала, пользуясь временным методом. Использование того или иного метода для нахождения s_вых(t) зависит, во-первых, от имеющейся информации о характеристиках линейной цепи и возможности рассчитать их, а во-вторых, от особенностей подынтегральной функции, например наличия быстрых изменений сигналов (скачков). Тем не менее, необходимые расчёты целесообразно выполнять с использованием персонального компьютера.