Общие указания
Типовые расчёты по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» (РТЦиС) выполняются студентами радиотехнического отделения СФУ, начиная со второго курса. Основная цель расчётов закрепление теоретического материала и развитие навыков самостоятельного анализа детерминированных и случайных сигналов, линейных цепей и передачи сигналов через линейные цепи. Типовые расчёты построены по схеме «задания методические указания» с примерами расчётов и охватывают темы курса:
спектральный анализ периодических сигналов;
спектральный анализ непериодических сигналов;
корреляционный анализ сигналов;
исследование частотных и временных характеристик линейных цепей и прохождение сигналов через линейные цепи спектральным или временным методами;
исследование случайных сигналов.
При выборе варианта (приложение) и конкретных численных значений параметров сигналов используются последние цифры номера зачётной книжки. В отчёте необходимо привести вариант задания, расчётные формулы, используемые программы, таблицы, необходимые графики и выводы по результатам исследований. Следует провести сравнительный анализ с аналогичными характеристиками классического сигнала прямоугольной формы, оценить значения погрешности аппроксимации, а также сделать вывод о характере изменения сигнала на выходе линейной цепи.
По индивидуальному заданию выполнить вейвлет-анализ или аппроксимацию исследуемого сигнала самостоятельно и обоснованно выбранной системой специальных функций (Лежандра, Чебышева, Эрмита, Уолша и др.), оценив значения погрешности аппроксимации.
В расчётах максимально использовать ПК, приложить самостоятельно составленные программы, полученные таблицы, графики и дать пояснения найденным результатам. Для расчётов целесообразно использовать универсальные программы, например: SPECTRAN, MATHCAD и др., а при построении схем и графиков программу VIZIO. Дополнительно провести моделирование преобразований сигнала в линейных цепях, используя, например, программу Multisim (программы на ВЦ радиотехнического отделения).
Исходные данные для расчётов:
где
n
и
m
последняя и предпоследняя цифры номера
зачётной книжки (если 0 то предыдущая).
Случайный процесс представляет собой
«белый шум» с нормальной плотностью
распределения, нулевым средним и
интенсивностью энергетического спектра
в положительной области частот W0=n
(В2с).
Задание 1. Спектральный анализ периодических сигналов
Исследуемая периодическая последовательность формируется из сигналов, приведенных в приложении. Уточнив численные данные параметров сигнала, согласно варианту задания, необходимо:
записать аналитические выражения сигнала и его представление рядом Фурье;
рассчитать и построить амплитудные и фазовые характеристики (спектрограммы);
определить эффективную ширину спектра;
найти среднюю мощность сигнала;
оценить погрешность аппроксимации.
Методические указания
Периодический сигнал s(t) в классическом представлении может быть, записан в виде суммы гармонических составляющих по системе тригонометрических или экспоненциальных функций [1, 2]:
,
(1)
где
частота первой гармоники в рад/с; T
период повторения сигнала. Амплитуды
и фазы n-x
гармонических составляющих рассчитываются
по формулам [1, 2]:
(2)
При
исследовании конкретных сигналов,
расчёте спектров амплитуд и фаз и
построении их графиков могут встретиться
различные ситуации, когда, например
сигналы являются чётными или нечётными
функциями времени. В этом случае
приведённые формулы упрощаются. Так
для чётных сигналов
,
а для нечётных сигналов
.
Поскольку структура амплитудного и фазового спектров периодического сигнала дискретная и состоит из отдельных линий, то часто на фазовых спектрограммах дополнительно отображают значение фазы огибающей линейчатого спектра амплитуд, взятого по модулю. Поэтому фазовый спектр принимает вид ступенчатой дискретной последовательности [1, 2].
Средняя мощность периодического сигнала может быть, найдена как:
,
(3)
и
определяется амплитудами гармонических
составляющих, а при оценке эффективной
ширины спектра сигнала исходят из полосы
частот занимаемых спектром сигнала, в
которой сосредоточенно не менее 90%
мощности. Суммируя средние мощности
отдельных гармоник можно найти число
гармоник N, которое определяет эффективную
ширину спектра, без постоянной составляющей
(
):
.
(4)
Рассчитав
значения
,
составляют таблицы данных и строят на
отдельных графиках амплитудную и фазовую
спектрограммы, согласовав их между
собой по оси частот.
При оценке погрешности аппроксимации исследуемого сигнала рядом Фурье исходят из алгоритма, позволяющего найти среднеквадратическую погрешность, определив предварительно мощность погрешности:
,
(5)
где
средняя мощность исследуемого сигнала;
средняя мощность базисных функций.
Фрагмент анализа. Например, для периодического сигнала, представляющего последовательность прямоугольных импульсов при Um=1В и скважности q=T/и=5, выполнить спектральный анализ.
После получения основных расчётных формул можно воспользоваться одним из математических пакетов, например Mathcad.
1. Составляем Mathcad-программу моделирования произвольного сигнала, задавая в строках программы требуемую модель. Для рассматриваемого сигнала вариант Mathcad-программы будет иметь вид:
.
2. Задаём пределы интегрирования с учётом периода исследуемого сигнала L=Т/2 и желаемое (в зависимости от требуемой точности) число членов ряда Фурье N:
.
3. Составляем Mathcad-программу для расчёта коэффициентов ряда Фурье:
.
4. Формируем массив данных, тригонометрический ряд Фурье и строим теоретическую и расчётную модели сигнала. Замечаем проявление эффекта Гиббса в точках разрыва сигнала:
.
5. На основе сформированного массива данных строим спектрограмму, делаем выводы о её структуре и оцениваем погрешность аппроксимации:
,
Задание 2. Спектральный анализ непериодических сигналов
Для непериодического сигнала s(t) с параметрами, приведёнными в приложении согласно индивидуального варианта, необходимо:
найти аналитические выражения для модуля и аргумента спектральной плотности S(j), рассчитать и построить графики спектрограмм;
определить эффективную ширину спектра и эффективную длительность сигнала;
найти энергетические характеристики непериодического сигнала;
найти
и построить временные и спектральные
характеристики задержанного сигнала
при
.