4 Методы решения функциональных уравнений
4.1 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (3.1.1) – (3.4.1). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.
Пример 4.1.1 Найти все непрерывные функции f (x), определенные на промежутке (0;∞), для которых разность f (x1y) – f(x2y) при произвольных допустимых значениях х1 и х2 не зависит от у.
Решение. По условию, выражение f (ху) – f (у) (хг = х, х2 = 1) не зависит от у, Поэтому
f(xy) – f(y) = f(x) – f(1).
Положив g (х) = f (x) — f (1), получим функциональное уравнение Коши
g(xy) = g(x) + g(y).
Известно, что в классе непрерывных функций g (x) = сlnх.
Отсюда f (х) = cln x+b, где b = f(1).
Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют функции f (х) = сln х + b при произвольных b и с.
Рассмотрим
пример, считая х1
и
х2
различными
фиксированными числами. Так как f
(х1y)
– f
(х2у)
не
зависит от у,
то
f
(х1y)
– f
(х2у)
= с. Пусть
х2у
=
х,
тогда
f(ах)
= f
(x)+c,
где
,
а
>
0, с — постоянная. Заменив х
на
ех,
получим
Вычитая из обеих
частей
,
получим
,
или g(x + lna) = g(x), (4.1.1)
где
.
Уравнению
(4.1.1) удовлетворяют периодические с
периодом lnа
функции. Отсюда
При
проверке убеждаемся, что функции вида
f(х)
=
g(ln
x)
+ αlnx,
где α
– произвольная константа, а g(х)
–
непрерывная периодическая с периодом
функция,
обладают
требуемым свойством.
Пример 4.1.2 Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством:
(х + у) + z = х + (у + z)
для любых х, y, z R. Требуется найти все непрерывные функции f(х), «сохраняющие» сочетательность, т. е.
f(х + у) + f(z) = f(х) + f(у + z) (4.1.2.1)
Решение. Перепишем (4.1.2.1) в виде
f(х + у) – f(x) = f(у + z) – f(z)
Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т. е.
f(х + у) – f(x) = g(y)
При х = 0 имеем f(у) = g (у) + а, а = f(0). Пришли к функциональному уравнению Коши
.
Его непрерывным решением являются функции g(х) = сх. Таким образом, f (х) = сх + а, где а и с — произвольные константы.
4.2 Метод подстановок
Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.
Пример
4.2.1.
Найти все функции f(x),
заданные на промежутке
,
для которых выполнено равенство
Решение. Выполнив последовательно две замены
приходим к системе функциональных уравнений:
Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим
Мы
можем определить f(x)
произвольным образом на одном из
интервалов
и эти формулы дадут нам расширение f(x)
на вcё множество I.
Пример 4.2.2 Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):
Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.
При этом
и первое уравнение принимает вид:
или
В результате получаем систему уравнений:
решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1.
Пример 4.2.3 Найти все решения функционального уравнения
f(xy) = yk f(x), k N.
Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = yk f(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0.
Пусть
теперь x ≠ 0. Подставим в уравнение
,
получим:
или
(a=f(1))
Функция f(x) = axk является решением исходного уравнения.
Пример
4.2.4
Пусть
- некоторое действительное число. Найти
функцию f(x),
определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую
уравнению
,
где g – заданная функция, определённая при x ≠ 1.
Решение. При замене
получаем систему
.
решением которой при a2 ≠ 1 является функция
