13). Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Хар.уравнен.

Дискриминант

Корни

Общее решение

x²+ px+q=0

(p²/4-q)>0

K1,k2  R ,k1 не равно k2.

y=c_1* e^k1x+ c_2* e^k2x

(p²/4-q)=0

K1,k2  R, K1=k2=k.

y=c_1* e^kx+ c_2* x*e^kx

(p²/4-q)<0

K1,k2 не  R, α=-(p/2), β=√(q- p²/4)

y=e^αx(c₁*cosβ*x+c₂*sinβ*x)

10). Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Методы его решения.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

                                            (1), линейное относительно неизвестной функции   и ее производной. 

Метод Бернулли. Пусть дано уравнение (1). Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций:  , где  ,  . Подставим решение в исходное уравнение (3.6):

      ,    ,  .

Найдем такую функцию  , которая бы являлась решением дифференциального уравнения

                                               .

Тогда решение уравнения (1) будет сведено к решению системы уравнений с разделяющимися переменными

Заметим, что при решении первого уравнения системы достаточно указать любое частное решение, то есть выбор константы произволен.

Решим уравнение (2):    ,     ,  ,  , где   принимает любые положительные и отрицательные значения, соответствующего данному неоднородному (то есть имеющее =такую же левую часть, что и уравнение (1)), то общее решение неоднородного уравнения может быть получено методом вариации произвольной постоянной. Полагая в решении однородного уравнения константу некоторой неизвестной функцией переменной  , запишем      (3). Подставим выражение (3) в неоднородное уравнение (1):   ,     (4)

Получено уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции  , решив которое можно дописать общее решение неоднородного уравнения (1) в виде (3).

Из уравнения (4) имеем . Возвращаясь к выражению (3), найдем

, (5) где первое слагаемое является частным решением неоднородного уравнения (1), а второе слагаемое – общим решением однородного уравнения (2). Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения может быть представлено в виде суммы    , (6) где   - общее решение соответствующего однородного уравнения, а   - некоторое частное решение неоднородного уравнения.

9). Уравнения с разделяющимися переменными. Методы его решения.

Уравнение с разделяющимися переменными – уравнение вида P(x)dx+Q(y)dy=0.

Метод решения – интегрирование обеих частей: -общий интеграл.

P1(x)*Q1(y)dx+P2(x)*Q2(y)dy=0 |:(Q1(y)*P2(x))

. При деление обеих частей уравнения на Q1(y)+P2(x)=0 могут потерятся решения этого уравнения, значит нужно рассмотреть и решить его отдельно и получить корни, которые не входят в общее решение dy. Такие решения- особые решения. Пример: ; ; y=f(x),dy=y’dx. y=x²с – общее решение этого диффиренциального уравнения, при с R.

8). Дифференциальные уравнения первого порядка. Решение дифференциального уравнения. Общее решение. Частное решение. Задача Коши. Теорема Коши.

Дифференциальное уравнение первого порядка - уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее первую производную y’, т.е. уравнение вида F(x,y,y’)=0 или y’=f(x,y).  

Решением дифференциального уравнения называется функция y=j(x), такая, что при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Задачей Коши называют задачу нахождение решения y=y(x) уравнения y’=f(x), удовлетворяющего начальному условию  . Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку  плоскости XOY (рис.):

Теорема Коши: пусть дано дифференциальное уравнение y¢=f(x;y), где f(x,y) определена в некоторой области Д плоскости XOY, содержащей точку  , если функцияf(x,y) удовлетворяет условиям:

 а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области Д; б) если f(x,y) имеет частную производную  , ограниченную в области Д, то найдется интервал(x₀-h,x₀+h), на котором существует единственное решение y=j(y) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x₀)=y₀ .

Функция y=j(x,c), зависящая от аргумента x и произвольной постоянной c, называется общим решением уравнения (1) в области Д, если она удовлетворяет условиям:

1) при любых значениях произвольной постоянной c, принадлежащих некоторому множеству, y=j(x,c) является решением уравнения (1);

2) какова бы ни была точка (x₀;y₀), лежащая внутри области Д, существует единственное значение постоянной c=c₀ , такое, что решение y=j(x,c) удовлетворяет начальному условию y(x₀)=y₀ .

Всякое решение   уравнения (1), получающееся из общего решения y=j(x,c) при конкретных значениях c=c₀ , называется частным решением.

7). Условный экстремум функции нескольких переменных. Методы нахождения условного экстремума (метод частичного исключения и метод неопределённых множителей Лагранжа).

Условный экстремум ФНП: Точка (x₀;y₀) называется точкой условного max(min), если существует такая окрестность этой точки, что для всех (x.y) из этой окрестности удовлетворяющих условию g(x,y) =C, выполняется неравенство f(x₀,y₀) f(x,y) (f(x₀,y₀) f(x,y)).

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции - Функция дифференцированная и ограниченная в замкнутой области достигает своего наибольшего( наименьшего) значения либо во внутренних точках, либо на границе замкнутой области. Алгоритм: 1. Найти стационарные точки внутренней области z’x=0 z’y=0 2.Вычислить в стационарных точках значение функции. 3. Найти наименьшее и наибольшее значение ограничивающей области . 4.Выбрать из всех полученных значений наибольшее и наименьшее значение.

Функция Лагранжа: L(x,y, )=f(x,y)+λ[g(x,y)-C]. Если точка (x₀,y₀) является точкой условного экстремума функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=C, то существует значение λ₀ такое, что точка (x₀,y₀,λ₀) является точкой экстремума функции L(x,y,λ).

6). Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции двух переменных.

Экстремум функции нескольких переменных: Точка М(x₀,y₀) называется точкой max(min) функции z =f(x,y), если существует такая окрестность точки М, что для всех точек (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x₀,y₀) f(x,y) (f(x₀,y₀) f(x₀,y₀)).

Необходимое условие: Пусть точка (x0,y0) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f(x,y). Тогда частные производные f’x(x0,y0) и f’y(x0,y0) в этой точке равны нулю. Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции называются критические или стационарными.

Достаточное условие: Пусть функция z=f(x,y) а) определена в некоторой окрестности критической точки М₀, в которой f’x(M₀)=0 и f’y(M₀)=0; б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f’xx(M₀)=A, f’xy(M₀) = B, f’yy(M₀) = C. Тогда если АС- >0 – то экстремум существует, причём А>0 – min

A<0 – max. Если AC- <0, то в стационарной точке нет экстремума. Если АС- =0, то требуется дополнительное исследование.

5). Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

Правило дифференцирования сложной функции: Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀) , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке

Пример: Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,   где   и   Пусть также эти функции дифференцируемы:   Тогда их композиция также дифференцируема:   и её производная имеет вид:

В обозначениях Лейбница правило для вычисления производной функции   где   принимает следующий вид:

4). Дифференциал функции нескольких переменных.

Пусть функция z = f(x,y), имеет в точке М₀(х₀,у₀) частные производные f ^/_x (х₀,у₀) и f ^/_у (х₀,у₀).

Полным приращением функции z = f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) называется разность

, 

Пусть приращение функции z =f(x,y) можно представить в виде где , эта функция называется дифференцируемой в точке M₀ (х₀,у₀).

Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения   , линейная относительно приращений её аргументов  . Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле:

Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно     . Таким образом, .

3). Частные производные функции нескольких переменных. Их геометрический смысл.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю. ; .

Геометрический смысл частных производных:

Согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной f(x, y₀) , α является углом между осью OX и касательной к графику этой функции, т.е. к кривой, определяемой системой уравнений: в точке (x₀,  y₀,  z₀) , где z₀ = f(x₀,  y₀) (рис. 1):

2). Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.

Число A называется пределом функции   при стремлении точки  к точке  , если для любого числа   найдется такая  – окрестность точки  , что для любой точки P из этой окрестности, кроме, может быть, самой точки , имеет место неравенство  .

Обозначают:   или 

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Функция   называется непрерывной в точке  , если:

1) функция  определена как в самой точке  , так и в некоторой ее окрестности;

2) существует предел  ;

3) этот предел равен значению функции в предельной точке:  .

1). Выделение функции нескольких(2) переменных. Область определения. Множество значений. Изображение функции двух переменных.

Определение. Переменная   называется функцией двух переменных   и  , если:

1) задано множество   пар численных значений   и  ;

2) задан закон, по которому каждой паре чисел   из этого множества соответствует единственное численное значение.

Множество   всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции.

Например, областью определения функции   является множество, для которого  . Множество   таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Графиком функции двух переменных в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность.