29). Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула Байеса: P(H1\A) =

Формула полной вероятности: Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле .

30). Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.

Испытания независимые, если вероятность каждого исхода не зависит от того, какие исходы имели другие опыты, т.е. вероятность каждого исхода остается постоянной от опыта к опыту.

Пусть производится  независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие  . Причем вероятность появления события в каждом опыте равна  , а вероятность непоявления равна  . Требуется найти вероятность   того, что в  независимых опытах событие    произойдет ровно    раз. Найдем вероятность  . Возьмем   букв   и   букв   и будем их между собой переставлять. Каждая перестановка соответствует определенной очередности появления или непоявления события  . Например,   соответствует ситуации, в которой событие появилось в первом опыте, во втором и третьем не появилось, появилось в четвертом и т.д. Всего вариантов будет столько, сколькими способами можно из   мест выбрать   различных (порядок не важен!) и поставить на них букву  , т.е.  способов. Вероятность любого из этих способов (в силу независимости опытов, а значит, и событий) равна по теореме умножения вероятностей  . Появление хотя бы одного из этих   несовместных исходов приводит к появлению интересующего нас события, поэтому

Или - Это и есть формула Бернулли.

31). Дискретные случайные величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения случайной величины. Её свойства.

Дискретная случайная величина - такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Закон распределения случайной величины - всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. 

Функция распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х - вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}. 

Свойства функции F(x): 1. F(-∞)=lim_(x→-∞)F(x)=0. 2. F(∞)=lim_(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x₂)≥ F(x₁ ), если x_2, > x₁. 5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева.

32. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

Математическое ожидание - среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины: M(X) =

Дисперсия - мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания.: D(x) = M(

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние - наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания:

22). Системы линейных уравнений. Решение системы. Совместные, несовместные, определённые, неопределённые системы линейных уравнений. Равносильные системы. Элементарные преобразования системы. Теорема об элементарных преобразованиях. Метод Гаусса.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных:

Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k₁, k₂, ..., k_n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁,x₂, ..., x_n дает верное числовое равенство.  решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. 

Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. 

Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. 

Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений.

Две линейные системы уравнений называются равносильными, если множества решений этих уравнений совпадают.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:

1. умножение уравнения на отличное от нуля число;

2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;

3. перестановка уравнений местами.

Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:

На первом этапе среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На втором этапе выражают все получившиеся базисные переменные через небазисные и строят фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

21). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.

Виды уравнений прямой в пространстве:

1). Пересечение 2 плоскостей. Общее уравнение прямой:

2). Каноническое уравение прямой:

- канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку   параллельно вектору 

3). Параметрическое уравение прямой:

4). Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки:

20). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости в пространстве.

Виды уравнений плоскости в пространстве:

1.  – уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно нормальному вектору  .

2.  – общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости, т.е. перпендикулярный к плоскости.

3.  – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  ,   и  .

19). Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy - некоторое уравнение с двумя переменными x и y, которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой

Виды уравнений прямой на плоскости:

1). y=kx+b, где k- угловой коэфициент, .

2). Общее уравнение прямой: , - нормальный вектор прямой.

3).уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении: A(x₁;y₁); y-y₁=k(x-x₁).

4). Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки:    и  ,

.