Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция   имеет экстремум в точке  , то ее производная  либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю:  , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки- это либо стационарные точки (решения уравнения  ), либо это точки, в которых производная   не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки  ;

2.  или   не существует;

3. производная   при переходе через точку   меняет свой знак.

Тогда в точке   функция   имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку  производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная   при переходе через точку   не меняет знак, то экстремума в точке   нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию   на экстремум, необходимо:

1. найти производную  ;

2. найти критические точки, то есть такие значения  , в которых   или   не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию   на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение  :

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку  . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку   производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем  .

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале   производная  , то на этом интервале функция   является убывающей; на интервале   производная  , значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. 

Второе достаточное условие экстремума

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки  ;

2. первая производная   в точке  ;

3.  в точке   .

Тогда в точке   достигается экстремум, причем, если  , то в точке   функция   имеет минимум; если  , то в точке   функция   достигает максимум.

Пример

Задание. Исследовать функцию   на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

Вторая производная заданной функции:

В стационарной точке   вторая производная , а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем  .

Ответ. 

Критическая точка 

Кривая фазового равновесия (в плоскости Р,Т) может в некоторой точке окончиться (рис. 5.3.1); такая точка называетсякритической, а соответствующие ей температура и давление - критической температурой и критическим давлением. В координатах {Т,V} диаграмма равновесия при наличии критической точки выглядит так, как это изображено на рис. 5.4.1.

30.Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x  а (соответственно для всех

x  а). Если существуют такие числа k и l, что f(x)  kx  l = 0 при х    (соответственно при х   ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x    (соответственно при х   ).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х  + 

(или х   ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x  3x  2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x  4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х   , то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х  + ,

так и при х   .