12.Сравнение бесконечно малых функций

 

Пусть   б.м. функции  при  . Предположим, что существует предел их отношения и он равен l.

.

Тогда если:

1)   l=1, то функции   и   называются эквивалентными б.м.;

2)   l - число, l0, то функции   и   называются б.м. одинакового порядка;

3)  l=0, то функция   называется б.м. более высокого порядка, чем  ;

4)  l= , то функция   называется б.м. более высокого порядка, чем  .

Пример 1.  ,   ,

,

 и   - эквивалентные б.м. функции.

Пример 2.   =х³,

=х,

,

,

• - б.м. функция более высокого порядка, чем  .

13.Замеча́тельные преде́лы

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел [править]

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы   и   и докажем, что они равны 1.

Пусть  . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке  . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

 (1)

(где   — площадь сектора  )

(из  :  )

Подставляя в (1), получим:

Так как при  :

Умножаем на  :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 

• 

• 

• 

Доказательство следствий  [

Второй замечательный предел 

 или 

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x[показать]

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что  . Рассмотрим два случая:

1. Пусть  . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:  , где   — это целая часть x.

Отсюда следует:  , поэтому

.

Если  , то  . Поэтому, согласно пределу  , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов  .

2. Пусть  . Сделаем подстановку  , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что   для вещественного x.    

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5.  для  , 

6. 

14.Непрерывность функций

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:

1. функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;

2. функция не определена в данной точке.

График 1.3.7.1. Эта функция непрерывна в точке A и разрывна в точке B

График 1.3.7.2. На рисунке показана функция   Она разрывна в точке x0 = 1, так как не существует в этой точке.

Примером разрывной функции может служить функция зависимости плотности воды в окрестности 0 ºC. Примером непрерывной функции является зависимость площади квадрата от длины его стороны. Подчеркнем еще раз, что непрерывность функции рассматривается только на области ее определения.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке. Большинство функций, изучаемых в элементарной математике, непрерывны на всей области определения. Таковыми являются линейная функция y = kx + b, квадратичная y = ax² + bx + c, показательная и тригонометрическиефункции.

Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x₀, то их сумма и произведение также непрерывны в этой точке, а функция   непрерывна в ней при условии, что g (x₀) ≠ 0.

Отсюда следует, что рациональные функции непрерывны во всех тех точках, в которых их знаменатель не обращается в нуль.

Из непрерывности функции y = f (x) в точке x₀ и функции z = g (y) в точке y = f (x₀) следует непрерывность сложной функции g (f (x)) в точке x₀.

Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Рисунок 1.3.7.1. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Только на одном из отрезков – [a3; b3] – имеется нуль функции, так как на этом отрезке функция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах

Теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

еорема о промежуточных значениях. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и f (a) ≠ f (b), то для каждого значения y, заключенного между f (a) и f (b), найдется точка   (и возможно, не одна) такая, что f (x) = y.