Функция тангенс
|
||||||||||
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
|
Функция котангенс
|
||||||||||
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
|
8.Числовая последовательности и ее предел.
Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел
(1)
следующих одно
за другим в определенном порядке и
построенных по определенному закону,
с помощью которого 
задается
как функция целочисленного
аргумента, 
т.е. 
.
Число А называется
пределом последовательности (1), если
для любого 
существует
число 
,
такое, что при 
выполняется
неравенство 
. Если
число А есть предел последовательности
(1), то пишут
Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:
если 
.
9.Предел функции в точке |
1. Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши.Число bназывается пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа существует такое положительное число , что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < , выполняется неравенство | f(x) – a | < . Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {xn}, сходящейся ка (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b. Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестноститочки а, кроме, быть может, самой точки а. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму. Указанный предел обозначается так:
Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2 > 0, высотой 2 и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а–; а + ), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)), лежат в этом прямоугольнике – Критерий Коши существования предела функции в точке. Число b – предел функции у = f(x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа > 0 можно указать такую проколотую d-окрестность точки а, что для любых чисел х1 и х2, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство | f(x1) – f(x2) | < .
Пусть
В теории пределов доказываются следующие два утверждения.
Первый
замечательный предел:
Второй
замечательный предел: При вычислении пределов для раскрытия неопределённостей, связанных с дифференцируемыми функциями, часто используют правило Лопиталя. Читать далее... 2. Функция многих переменных. Пусть функция у = f(x1; x2; …; xn) определена в некоторой выколотой окрестности точки Р(р1; р2; …; рn), принадлежащей области n–мерного пространства, состоящей из точек Х(x1; x2; …; xn). Число b называется пределом функции у =f(x1; x2; …; xn) при Х, стремящейся к Р, если для любого числа > 0 существует такое положительное число , что в точках Х выколотой окрестности точки Р, задаваемой неравенствами
выполняется неравенство | f(x1;x2; ...;xn) – b | < . |
Тогда
существуют пределы суммы и произведения
функций f(x)
и g(x),
а в случае с ≠ 0 – и частного этих
функций, причём:
Если
определена сложная
функция F(f(x)),
причём
то
существует и предел сложной функции,
причём
где е –
знаменитое иррациональное число, e=
2,71...
Предел функции на бесконечности |
Предел функции на бесконечности. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < . Запись этого факта:
Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число bназывается пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < . Записывается это так:
|
10.Односторонние пределы |
Пусть
переменная x
стремится к a,
оставаясь больше a,
и при этом
Понятие
левостороннего предела (или предела
слева) вводится аналогичным образом.
В этом случае
Для существования обычного (двустороннего) предела функции в точке a необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:
Например, в точке x = 3 односторонние пределы функции
отличаются друг от друга:
Поэтому в рассматриваемой точке предел функции не существует. |
.
Тогда число A
называют правосторонним
пределом (или пределом
справа)
функции 
и обозначают любым из символических
выражений
при x → a
со стороны меньших значений:
