Задание 1.6.

Для заданного алгебраического уравнения:

Р₇(х) = 4x⁷ + 6x⁶ – 2x⁵ – 5x⁴ + 8x³ – 8x² – 4x + 4,

найти общее количество корней, количество положительных и отрицательных корней, предельные значения корней методом предельных значений и выделить один действительный корень.

Решение

Определение числа корней для алгебраического уравнения, с помощью правила Декарта:

Р₇(х) = 4x⁷ + 6x⁶ – 2x⁵ – 5x⁴ + 8x³ – 8x² – 4x + 4,

Это уравнение имеет 7 корней. Знаки коэффициентов образуют следующую последовательность: +, +, –, – , +, –, –, +. Знаки меняются 4 раза, следовательно, корней будет либо 4, либо 2, либо 0. Для отрицательных Р₇(–х): –, + , +, –, –, –, +, +. Знак меняется 3 раза, следовательно, корней будет либо 3, либо 1, либо 0.

Метод предельных значений:

Определение границ корней данного уравнения:

1. Для полинома Р₇(х):

При а₀>0

a₀=4, a₁=-4, a₂=-8, a₃=8, a₄=-5, a₅=-2, a₆=6, a₇=4,

m=2, B=8,

2. Для полинома Р₇(-х):

При а₀>0

a₀=4, a₁=4, a₂=-8, a₃=-8, a₄=-5, a₅=2, a₆=6, a₇=-4,

m=3, B=8,

3. Для полинома х⁷Р₇(х):

При а₀>0

a₀=4, a₁=-4, a₂=-8, a₃=8, a₄=-5, a₅=-2, a₆=6, a₇=4,

m=9, B=8,

4. Для полинома х⁷Р₇(-1/х):

При а₀>0

a₀=4, a₁=4, a₂=-8, a₃=-8, a₄=-5, a₅=2, a₆=6, a₇=-4,

m=3, B=8,

Отсюда следует, что положительные корни находятся в интервале

(0,42; 2,4), а отрицательные (-2,25; -0,8). Но указание границ корней не означает, что такие корни обязательно есть.

Уточнение действительного корня:

При выделении действительного корня процесс его получения носит итерационный характер и реализуется по формуле:

Здесь через x_i и x_i+1 обозначены соответственно i-е и (i+1)-е приближения выделяемого корня.

Примем в качестве начального значения х = 0,612. Результаты итерационного вычислительного процесса сведём в таблицу:

i	xi	xi+1
1 2 3 4 5 6 7	0.612 0.6136 0.6126 0.6132 0.6128 0.6131 0.6129	0.6236 0.6126 0.6132 0.6128 0.6131 0.6129 0.613

Примем корень равный 0.613.

Задание 1.7.

Решить дифференциальное уравнение y' = 1.5х+8sin(1.5х+2)+ x·y методом Рунге – Кутта, при заданных начальных условиях х₀ = -5, y(-5) = 0 в заданных пределах [-5; 5] с шагом не менее 1.

Решение:

Вычислительный алгоритм записывается следующим образом:

На первом шаге:

На втором шаге получим:

Дальнейшие результаты занесём в таблицу:

xi	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
yi	0	5.156	9.819	2.554	-0.66	5.048	13.781	51.114	543.136	13040	622000
yi+1	5.156	9.819	2.554	-0.66	5.048	13.781	51.114	543.136	13040	622000	5.422×107

2.Ответы на вопросы по темам:

Интерполяция:

1. Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции?

В принципе может, в методе не заложено ограничений на применение для экстраполяции.

2. Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода Лагранжа?

Да, можно. Только это приведёт к увеличению работы, т.к. придётся заново рассчитывать интерполяционное значение функции.

Аппроксимация:

1. Можно ли при аппроксимации таблично заданной функции обеспечить прохождение аппроксимирующей функции точно через все точки?

В принципе, это возможно, если задать степень аппроксимирующего полинома равной номеру последней точки (если нумерация точек идёт с нуля). Однако в этом случае аппроксимирующая функция превращается в интерполяционную.

2. Всегда ли увеличение суммы квадратов отклонений соответствует худшей близости исходной и аппроксимирующей функции?

Нет, не всегда. Например, при введении отличных от единицы весовых коэффициентов (например, всех одинаковых) критерий увеличивается за счёт коэффициентов, а не за счёт увеличения отклонений.

3. Можно ли при аппроксимации произвольно задавать степень аппроксимирующего полинома?

Можно, но не выше количества исходных точек без единицы.

Вычисление интегралов:

1. Дана подынтегральная функция f(x) = 1500x. Какой из методов будет наиболее эффективен?

Т.к. функция линейная, то метод трапеций даст абсолютно точный результат. В основу этого метода заложена замена подынтегральной функции трапецией. Можно вычислить и другими методами, но этот наиболее прост.

2. Дана подынтегральная функция f(x) = x². Можно ли каким либо численным методом вычислить интеграл без ошибки?

Т.к. эта функция квадратичная, то метод Симпсона даст абсолютно точный результат. Этот метод основан на замене подынтегральной функции квадратичной параболой, которая строится по 3-ём точкам на каждом участке. И она обеспечивает точное вычисление интеграла даже и при полиноме третьей степени. Можно вычислить и другими методами, но этот наиболее прост.

3. В каких случаях метод трапеций находит применение?

Этим методом пользуются при вычислении интегралов со значительно невысокой точностью. А также можно его использовать при интегрировании функций с невысокой скоростью изменения.