Колебательная функция

Таблица3 – Колебательная функция

Модельная функция №3 Уравнение Параметры А=1; В=5; С=1; Д=1; Интервал Xmin =-2; Xmax=1;
Метод		Погрешность по x					Погрешность по y
		x*	f(x*)	I	Nф		x*	f(x*)	I	Nф
Сканирования		-0,8326	0	11	26		-0,8326	0	11	26
Хорд		Решение не найдено					-0,8326	0	4	7
Параболической аппроксимации		-0,8326	0	10	13		-0,8326	0	4	7
Итераций (к=0,5)		-0,8326	0	3	3		-0,8326	0	3	3

Из приведенных выше данных о решении нелинейного уравнения четырьмя указанными способами можно сделать вывод, что наиболее эффективным является метод итераций, т.к. он показал наименьшее значение общего количества раз вычисления функции f(x) в процессе уточнения корня.

Также видно, что в методе хорд по погрешности х решение не найдено. Это произошло из-за свойств самой функции, хотя по погрешности у решение было найдено.

Ситуации, когда методы неработоспособны

Ситуацию, когда неработоспособен метод хорд, мы увидели на вышеприведенном примере для крутой и колебательной функции (там неработоспособность объясняется видом самой функции).

Приведем пример неработоспособности метода параболической аппроксимации по погрешности х: возьмем функцию, к примеру y(x)=exp(5x)*sin(x+1) на интервале Xmin=-2 и Xmax=1. В качестве начальных параметров выберем x0=-1, x1=-0,5; x2=1. В этом случае решение не будет найдено из-за того, что выбранная нами начальная точка х0=-1 лежит правее искомого корня.

Приведем пример неработоспособности метода итераций: возьмем функцию, к примеру y(x)=х+2sin(x+1) на интервале Xmin=-2 и Xmax=1. В качестве начальных параметров выберем k=1,0001 и начальную точку

x0=-0,5. В данном случае метод не будет сходится из-за того, что неправильно подобран коэффициент k.

Дополнительные задания для отдельных мето­дов

Будем использовать колебательную функцию, полученную ранее.

Метод сканирования

Проведем исследование влияния числа N₀ т.е. первоначального количества подынтервалов на которое делится интервал отделения корня, на эффективность метода, т.е. на общее количество вычислений функции f(x).

Таблица4 – Зависимость от

2	19
3	26
4	29
5	34
6	42
7	44
8	51
9	58
10	56

Из приведенной зависимости (см. Таблицу4 выше и Рис.1 ниже), можно сделать вывод о том, что общее количество вычислений будет возрастать (близко к линейному распределению) с ростом первоначального количества подынтервалов

Рис.1 - Зависимость от