Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Ярославский государственный технический университет»

Кафедра «Кибернетика»

 

 

Отчет защищен

с оценкой ________

Преподаватель

( ) Н.Н. Василькова

12.05.2009

 

 

 

 

 

Исследование основных методов решения нелинейных уравнений

 

 

Отчет о лабораторной работе по курсу

“Компьютерные технологии вычислений

в математическом моделировании”

 

ЯГТУ 220301.65-002 ЛР

 

 

 

 

Отчет выполнил

студент гр. МА-34

( ) О.А. Куфирин

( ) С.И. Яркин

12.05.2009

 

 

 

 

 

 

2009

Цель работы

Проведение сравнительного анализа работоспособности и эффективности различных методов решения нелинейных уравнений на примере функций с различными свойствами. Работа проводится с четырьмя методами ( «метод сканирования», «метод хорд», «метод параболической аппроксимации», «метод итераций») для трех разных функций f(x) в правой части нелинейного уравнения f(x)=0.

Подготовительный этап

Для выполнения работы подберем три модельные функции f(x), которые затем войдут в левую часть решаемых нелинейных уравнений f(x)=0. Выберем модельную функцию №3 - . Подбираемые функции обладают следующими свойствами:

1. Гладкая функция с крутым пе­ресечением оси x (с одним отделённым корнем внутри выбранного интервала). Крутой будем считать функцию, у которой тангенс угла наклона касательной в точке пересечения с осью х более 2, т.е. tg 2. Тангенс угла наклона касательной приближённо определим по графическому виду выбранной функции с учётом масштабов по осям х и у.

2. Гладкая функция с пологим пе­ресечением оси x (с одним отделённым корнем внутри выбранного интервала). Пологой будем считать функцию, у которой тангенс угла наклона касательной в точке пересечения с осью х не более 0.5, т.е. tg 0.5. Тангенс угла наклона касательной приближённо определим по графическому виду выбранной функции с учётом масштабов по осям х и у.

3. Колебательная функция (с одним корнем внутри интервала):

Итак, после выбора трёх модельных функций f(x) имеем три нелинейных уравнения типа f(x) =0, которые необходимо решить четырьмя различными методами («метод сканирования», «метод хорд», «метод параболической аппроксимации», «метод итераций»). В результате сравнения процессов решения выберем наиболее эффективный метод уточнения корней для каждого из уравнений, т.е. для: а) уравнения с крутой функцией в правой части; б) уравнения с пологой функцией в правой части; в) уравнения с колебательной функцией в правой части.

Выполнение работы (для каждой из выбранных функций f(x), входящих в левую часть уравнения f(x) =0) будем проводить по следующему плану.

1. Для заданной погрешности по аргументу x ( х=0,0001) провести уточнение корня (т.е. определить корень с заданной погрешностью) первым методом и зафиксировать в таблицу № 1:

а) найденный корень x^* (списать из окна результатов);

б) значение функции при x=x^*, т.е. f(x^*) (списать из окна результатов), при этом обратить внимание, равно ли f(x^*) нулю, если нет, то объяснить причину.

б) количество итераций (списать из окна результатов);

в) коли­чество вычислений самой фунции f(x) в процессе уточнения корня (сосчитать самим, вспоминая суть применённого метода).

2. Для такого же значения погрешности, но уже по функции f(x) ( у=0,0001), повторить решение того же нелинейного уравнения тем же методом и сравнить его с решением, полученным на первом этапе; сделать выводы о влиянии способа задания пог­решности на решение.

В методе сканирования в программе выводится в окно результатов и количество итераций, и количество вычислений функции. Во всех остальных методах выводится только количество итераций, а количество вычислений функции, произведённое в процессе уточнения корня, вычислим сами.

Для определения количества вычислений функции в процессе уточнения корня с заданной погрешностью, будем использовать следующую формулу:

N_ф= N₀+ I*N_i (1), где

N_ф – общее количество раз вычисления функции f(x) в процессе уточнения корня;

N₀ – количество раз вычисления функции f(x) на стартовой (нулевой) итерации;

I – количество итераций (вычисляется программой и списывается из окна результатов);

N_i - количество раз вычисления функции f(x) на рядовой (i-ой) итерации;

В методе простой итерации количество раз вычисления функции на всех итерациях, включая нулевую, одинаковое и равно единице. Следовательно, в этом методе общее количество раз вычисления функции f(x) в процессе уточнения корня будет определяться формулой:

N_ф= I (2)