Линейные отображения.

Преобразование - закон, по которому для каждого вектора находится соответственный вектор в одном и том же пространстве.

Отображение - закон, по которому для каждого вектора в одном пространстве находится вектор в другом пространстве (может быть даже в пространстве с другой размерностью).

 Определение.  Отображение  j: Rⁿ ® R^m, обладающее свойствами:

1. , для любых x', x''Î Rⁿ;

2.   , для всякого хÎRⁿ и всякого  lÎR, называется линейным отображением Rⁿ ® R^m .

Преобразование называется линейным, если оно переводит произведение числа на вектор в произведение  того же числа  на соответственный вектор, а сумму векторов переводит в сумму соответственных  векторов.

  Преобразование векторного пространства L над полем R называется линейным, если выполняется равенство:

 j(ax+by)=aj(x)+bj(y), для любых x,yÎL и любых  a,bÎR.

Теорема. Пусть е₁,е₂,...,е_n - какая-либо база линейного пространства L. Выберем в L совершенно произвольные векторы b₁,b₂,...,b_n.

Тогда существует одно и только одно линейное преобразование пространства L, переводящее векторы е₁,е₂,...,е_n соответственно в векторы b₁,b₂,...,b_n.