Лемма о равенстве квадратных матриц.
Пусть А и В - квадратные матрицы порядка n с элементами из тела К. Если для любой строки [x1...xn] c элементами из того же тела справедливо равенство [x1...xn]A=[x1...xn]B, то А=В.
Теорема. Матрица преобразования координат всегда имеет обратную, которая является матрицей обратного преобразования координат.
Линейные подпространства.
Определение. (Распространение определения арифметического линейного подпространства). Непустая совокупность U векторов какого-либо пространства L над кольцом К называется линейным подпространством этого пространства, если из принадлежности а,bÎU следует принадлежность la+mbÎU для любых l, mÎК.
Свойства суммы подпространств.
1. U+F=F+U.
2. U+(F+C)=(U+F)+C.
3. Если U сoдержится в F, то U+F=F.
4. Теорема. dim(A+B)=dimA+dimB-dimAIB. Размерность суммы двух линейных подпространств пространства L равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения.
Следствие. Размерность пересечения двух линейных подпространств
пространства L не может быть меньше избытка суммы размерностей этих
подпространств над размерностью пространства L.
Прямые суммы подпространств.
А=А1+А2+...+Аs - сумма подпространств. Всякий вектор а А может быть представлен: а=а1+а2+...+аs; aiÎAi, i=1,2,...s. (*)
В общем случае такое представление неоднозначно.
Если каждый вектор аÎА допускает только одно представление вида
(*), то такая сумма подпространств называется прямой и обозначается
.
Свойства прямых сумм подпространств.
Свойство 1. Сумма подпространств А=А1+А2+...+Аs будет прямой суммой тогда и только тогда, когда нулевой вектор суммы допускает cвое
разложение лишь на нулевые векторы слагаемых.
Свойство 2. Если в прямой сумме каждое слагаемое заменить его
прямым разложением, то получится снова прямое разложение Свойство 3. Теорема. Для того, чтобы сумма двух линейных подпространств пространства L была прямой, необходимо и достаточно, чтобы
пересечение этих подпространств было нулевым.
Свойство 4. Теорема. Размерность прямой суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств.
Свойство 5. Если размерность суммы линейных подпространств равна сумме ихразмерностей, то сумма - прямая.
Свойство 6. Следствие из предыдущей теоремы.
Если подпространство А есть прямая сумма подпространств
А1,А2...Аs,
то, выбирая в каждом подпространстве
Ai
базу аi1,аi2...
(i=1,2...s)
и объединяя эти базы в одну систему
a11,а12,...аs1,аs2...
,
мы получим базу подпространства А.
Линейные преобразования. Преобразования произвольных множеств.
Определение. Закон, позволяющий для каждого элемента множества М снова находить некоторый элемент из М, называется преобразованием множества М.
Определение. Два преобразования j, y множества М называются равными, если для любого mÎM j(m)=y (m).
Определение. Последовательное выполнение двух преобразований над элементом множества называется произведением этих преобразований: y[j(m)]=(y j)(m)=yj.
Определение. Преобразование, ставящее в соответствие каждому элементу m из М тот же элемент m, называется единичным или тождественным и обозначается через e . Т.е. e(m)=m.
Определение. Если для преобразования j можно найти такое преобразование y, что jy=yj=e, то y называется обратным преобразованием по отношению к j, а само j называется обратимым.
Определение. Ядром преобразования j, ker j, называется совокупность элементов, образы которых - нули.
Теорема. Для того, чтобы преобразование j множества М было обратимым, необходимо и достаточно, чтобы j было взаимно однозначным отображением множества М на себя, т.е. чтобы каждый элемент из М имел в М прообраз и чтобы различные элементы из М переводились преобразованием j в различные элементы. (Различные элементы имели различные образы).