Линейные пространства.

 Определение.  Произвольное непустое множество элементов L называется линейным или векторным пространством над некоторым кольцом К, если выполняются условия:

а) Для любой пары элементов a,bÎL задана бинарная операция, называемая сложением, в соответствии с которой может быть найден третий элемент, называемый суммой первых двух a+b.

б) Дано правило, как для любого "числа"  a из кольца К и любого элемента а из L найти в L новый элемент, называемый произведением a  на а, обозначаемый aa.

в) Указанные операции удовлетворяют требованиям:

1) a+b=b+a, aa=aa - сложение векторов и умножение вектора на число коммутативно.

2) a+(b+c)=(a+b)+c, (ab)а=a(bа) - сложение векторов и умножение вектора на числа ассоциативно.

3) Возможно вычитание, т.е. для любых a,b из L существует х, при надлежащий L, такой, что b+x=a, x называется разностью x=a-b.

4) Умножение на число дистрибутивно по отношению к сложению

в L:  a(a+b)=aa+ab.

5) Умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел в

K: (a+b)a=aa+ba.

6) В кольце К должна существовать единица с условием:

1а=а для любого а из L.

7) Относительно нулевого вектора разберитесь самостоятельно.

Каждый элемент векторного пространства называется  вектором.

Линейное пространство над полем С называется  комплексным линейным

 Линейное пространство над полем R называется  вещественным линейным пространством.

Изоморфизм линейных пространств.

 Определение.  Два линейных пространства над одним и тем же кольцом называются  изоморфными,  если между их элементами можно установить такое  взаимно однозначное  соответствие, при котором сумме векторов первого пространства будет отвечать сумма  соответствующих  векторов второго, а произведению какого-либо числа на вектор первого пространства  будет отвечать произведение  того же числа  на соответствующий вектор второго.

 Теорема. При изоморфизме любая система линейно-независимых векторов переходит снова в систему линейно-независимых векторов.

Теорема. При изоморфном отображении система базовых векторов первого пространства переходит в некоторую систему базовых векторов второго.

 Теорема. 1. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковую  размерность.

  2. Если два линейных пространства над одним и тем же полем (кольцом) коэффициентов имеют одинаковую размерность, то они изоморфны.

Базис и размерность линейных пространств.

Базис - это совокупность векторов, обладающая 2-мя свойствами:

а) эти векторы линейно независимы, б) все остальные векторы пространства могут быть представлены как линейные комбинации этих базовых векторов.

Определение. Всякая база линейного пространства L, векторы которой берутся в определенной последовательности, называется координатной базой или координатной системой в L.

Определение. Числа  a₁,a₂,...,a_n называются координатами вектора а в данной системе координат.

Определение. Строка координат [a₁,a₂,...,a_n] составленная из координат вектора а, взятых в надлежащем порядке, называется координатной строкой и обозначается [a].