Многочленные матрицы ( l-матрицы).
Определение. Матрица, элементами которой служат многочлены от l c коэффициентами из основного поля К, называются многочленными или l-матрицами.
Элементарные преобразования l-матриц.
1. Умножение любой строки на не равное нулю число из поля К.
2. Прибавление к i-той строке j-той строки, умноженной на произвольный многочлен от l.
3. Операция 1. со столбцами.
4. Операция 2. со столбцами.
Определение. Две l-матрицы называются эквивалентными, если одна получена из другой цепочкой элементарных преобразований конечной длины.
Свойства эквивалентности:
1.
Транзитивность:
.
2.
Симметричность:
.
3.
Рефлективность:
Определение. l-матрица такого вида называется канонической диагональной, если каждый элемент fi(l) есть делитель fi+1(l) и если все отличные от 0 многочлены f1(l),...fn(l) имеют старший коэффициент 1.
Теорема. Всякая l-матрица конечным числом элементарных преобразований может быть приведена к канонической диагональной форме.
Наибольший общий делитель миноров.
Теорема. Эквивалентные l-матрицы имеют один и тот же наибольший общий делитель миноров k-го порядка (k=1,2...n).
Инвариантные множители l-матрицы.
ТЕОРЕМА: Если НОД Dk(l) миноров k-го порядка l-матрицы F при k=1,2,...r отличен от нуля, а Dr+1(l)=0, то диагональные элементы dk(l) канонической диагональной формы матрицы F выражаются через Dk(l) по приведенным формулам и определяются таким образом матрицей F однозначно.
Определение. Многочлены d1(l),...,dn(l) называются инвариантными
множителями матрицы F.
Условия эквивалентности l-матриц.
1. Условие. Для того, чтобы l-матрицы порядка n были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы наибольшие общие делители (НОД) их миноров k-го порядка совпадали при k=1,2,...,n.
Для эквивалентности l-матриц необходимо и достаточно равенство их
соответствующих инвариантных множителей.
2. Условие. Для того чтобы l-матрицы F и G порядка n были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли соотношению: G=PFQ, где P,Q -некоторые l-матрицы с постоянными (не зависящими от l), не равными нулю определителями.
Элементарные делители.
Теорема. Порядок, ранг и система элементарных делителей l-матрицы
F вполне определяют ее инвариантные множители и, следовательно, определяют матрицу F с точностью до эквивалентности.
Лемма. Система элементарных делителей произвольной диагональной l-матрицы F есть объединение элементарных делителей ее диагональных элементов.
Теорема. Система элементарных делителей распавшейся матрицы равна объединению систем элементарных делителей ее клеток.
Деление l-матриц.
Определение. Матричный многочлен F(l) называется регулярным, если матрица-коэффициент при переменной l в наивысшей степени - невырожденная.
Теорема. Для произвольного матричного l-многочлена А(l) и регулярного l-многочлена В(l) существуют l-многочлены P(l), S(l), Q(l),
R(l), удовлетворяющие требованиям:
а) A(l)=B(l)Р(l)+S(l);
A(l)=Q(l)В(l)+R(l);
b) S(l)=0 или его степень меньше степени В(l);
R(l)=0 или его степень меньше степени В(l).
Этими требованиями все 4 многочлена определяются однозначно и называются: P(l), S(l) - левыми частными и остатком, Q(l), R(l) - правым
частным и остатком от деления А(l) на В(l).
Поделив l-многочлены, мы поделили l-матрицы.
Скалярная эквивалентность.
Определение. Матрицы, элементы которых не зависят от l, называются скалярными. (Это все числовые матрицы над полем Р).
Определение. Матрица А(l) скалярно эквивалентна матрице В(l), если существуют неособенные скалярные матрицы U и V, удовлетворяющие со-
отношению: А(l)=UB(l)V.
Теорема. Если матричные l-многочлены 1-ой степени Al+B, Cl+D регулярны и эквивалентны, то они и скалярно эквивалентны.
Теорема: Для того, чтобы матрицы А и В над произвольным полем Р
были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их характеристические
матрицы lЕ-А и lЕ-В были эквивалентны.
Теорема. Каждая квадратная матрица над полем комплексных чисел, а также над любым другим алгебраически замкнутым полем подобна матрице, имеющей жорданову форму.
Две матрицы Жордана подобны тогда и только тогда, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга, самое большее, расположением клеток на главной диагонали.