3) Определитель унитарной матрицы равен комплексному числу с модулем, равным единице.

6. Другие виды специальных матриц.

 Определение. Матрица J называется  инволютивной , если J²=E.

 Определение.  Матрица Р называется  идемпотентной, если Р²=Р.

 Определение.  Матрица А называется  нильпотентной, если А^k=0 для

некоторого целого k, это число называется  показателем нильпотентности .

7.Клеточные матрицы.

 Определение. Матрицы низших порядков, построенные из элементов исходной матрицы, называются  клетками  или блоками исходной матрицы. Сама исходная матрица называется в этом случае  клеточной  или блочной.

9.Характеристический многочлен.

 Определение.  Пусть А - квадратная матрица. Матрица  lЕ-А, где  l -независимая переменная, называется характеристической матрицей для матрицы А. Ее определитель  j( l)=|lЕ-А|, являющийся многочленом от l, называется характеристическим многочленом матрицы А.

 Определение.  Сумма диагональных элементов любой матрицы называется ее следом.

Свойства характеристического многочлена.

1). Степень характеристического многочлена равна n.

2). Старший коэффициент характеристического многочлена равен 1.

3). Свободный член характеристического многочлена равен определителю матрицы со знаком, определяемым четностью ее порядка.

4).   Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц равны друг другу.

 Следствие.  Подобные матрицы имеют одинаковые следы и определители, т.к. это соответствующие члены характеристического многочлена.

10. Собственные значения матрицы.

 Определение.  Собственными значениями или характеристическими числами матрицы называются корни ее характеристического многочлена.

Матричный многочлен.

Теорема Гамильтона-Кели.  Каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Минимальный многочлен.

Определение.  Ненулевой многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, имеющий своим корнем матрицу А, называется минимальным многочленом этой матрицы.

Свойства минимальных многочленов.

1. Каждая матрица имеет только один минимальный многочлен.

2. Всякий многочлен f(x), корнем которого является матрица А, делится без остатка на минимальный многочлен  j(х) этой матрицы.

3. Минимальный многочлен матрицы является делителем ее характеристического многочлена.

4. Подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены.

5. Характеристический многочлен распавшейся матрицы равен произведению характеристических многочленов ее клеток

Полураспавшиеся матрицы.

 Определение.  Клеточная матрица А называется полураспавшейся, если все ее клетки на главной диагонали квадратные, а клетки, стоящие по одну сторону от главной диагонали - нули.

 Свойства.  1. Сумма и произведение полураспавшихся матриц являются

полураспавшимися матрицами, диагональные клетки которых равны суммам и

произведениям соответствующих клеток заданных матриц.

2. Определитель полураспавшейся матрицы равен произведению определителей ее диагональных клеток.

Отсюда: характеристический многочлен полураспавшейся матрицы равен произведению характеристических многочленов ее диагональных клеток.

3. Собственные значения треугольной (верхней или нижней) и диагональной матрицы равны ее диагональным элементам. (Это распавшиеся матрицы, диагональные клетки которых имеют первый порядок).