Специальные матрицы и их св-ва

1.Свойства транспонированных матриц.

 Свойства: 

1. (aA+ bB)'= aA'+bB', где a, b - элементы из того же кольца, что и элементы матриц А,В.

2. (AB)'=B'A'

3. (A')'=A - это очевидно.

2. Свойства симметрических матриц.

 Определение 1:  Если произвольная квадратная матрица А равна своей

транспонированной матрице А', то А называется  симметрической . матрицей.

 Определение 2:  Если произвольная квадратная матрица А равна своей

транспонированной матрице A' с противоположным знаком, то А называется кососимметрической  матрицей.

 Свойство 1.  Элементы, расположенные симметрично относительно

главной диагонали у симметрических матриц равны.

У кососимметрических матриц - равны по модулю, но противоположны по знаку. Элементы главной диагонали у кососимметрических матриц равны

нулю.

 Свойство 2.  Сумма симметрических матриц есть матрица симметрическая, сума кососимметрических матриц есть матрица кососимметрическая.

 Свойство 3.  Если две симметрические матрицы перестановочны, то их

произведение снова будет матрицей симметрической.

3.Обратимые матрицы.

Напоминание.

1).Определение. АА^-1=А^-1А=Е.

2).Свойство 1. А^-1 - единственная, если она существует.

3).Свойство 2. Если А₁,А₂,...А_n - обратимые, то

(А₁А₂...А_n)^-1=А_n^-1 А_n-1^-1 ...А₁^-1.

4).Степени матриц: А⁰=Е, А¹=А, А²=АА,...Аⁿ=АА...А,

А⁰=Е, А^-1=А^-1, А^-2=А^-1А^-1,...А^-n=А^-1А^-1...А^-1.

5).Для любых обратимых матриц и любых чисел p,qÎ Z, справедливы

равенства: A^pA^q=A^p+q; (A^p)^q=A^pq.

6).Если А,В обратимы и перестановочны, то (АВ)^p=А^pВ^p.

7).Связь транспонирования и обращения:

транспонирование обращения равно обращению транспонирования:

(А^-1)' =(А`)^-1 т.к. (АА^-1)=Е, (АА^-1)' =(А^-1)' А'=Е ® (А^-1)'=(А')^-1.

4.Ортогональные матрицы.

Определение.  Квадратная матрица А называется ортогональной, если

AA'=A'A=E, т.е. если транспонированная матрица обратная к исходной, A'=A^-1.

 Свойство 1. Определитель ортогональной матрицы равен ±1.

Свойство 2. Ортогональная матрица всегда обратима.

Свойство 3. Обращение ортогональной матрицы снова матрица ортогональная. Т.е. A^-1(A^-1)'=E, если AA'=E.

  Свойство 4.  Если А, В, - ортогональные матрицы, то А×В – также ортогональная матрица.

5.Комплексно-сопряженные матрицы.

 Определение.  Пусть А - матрица над полем комплексных чисел. Заменим каждый ее элемент комплексно-сопряженным числом. Полученная матрица называется комплексно-сопряженной с А и обозначается А.

 Свойства:  1) 2)

3) ; 4) .

 Определение:  Матрица А' - комплексно-сопряженная, транспонированная относительно исходной матрицы А называется  эрмитово-сопряженной.

Определение:  Если матрица А равна своей эрмитово-сопряженной матрице А', то она называется  эрмитовой или эрмитово-симметрической  матрицей. A=A'.

 Определение:  Если матрица А является обращением для своей эрмитово-сопряженной матрицы А', то она называется  унитарной.

или A'=A^-1.

 Cвойства:  1) Матрица, обратная к унитарной матрице - унитарна.

Т.е. если , то

2) Произведение унитарных матриц является унитарной матрицей.