Билет №21

Момент инерции. Теорема Штейнера.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Момент инерции системы частиц относительно заданной оси , где – масса частицы, – расстояние от частицы до заданной оси.

Если масса тела непрерывно распределена в пространстве то , где – масса элементарного объема тела, – расстояние от этого объема до заданной оси.

Теорема Штейнера.

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси ^ О равен сумме момента инерции этого тела относительно оси С, параллельной оси О и проходящей через центр масс тела, и произведения массы этого тела и квадрата расстояния между осями О и С.

Координата центра масс , где – координата материальной точки с массой или (случай непрерывного распределения).

Билет №22 Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия твердого тела конечных размеров равна сумме кинетических энергий элементов, на которые разбито тело.

Рассмотрим частный случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия каждого элемента, движущегося с линейной скоростью: Vi = ωri

равна:

Просуммировав по всем элементам, получим: , – момент инерции тела, относительно оси вращения.

Если твердое тело одновременно участвует в двух движениях: поступательном со скоростью и вращательном со скоростью , то ,

Билет №23 Основное уравнение вращательного движения твердого тела.

Определим зависимость между приложенными к вращающемуся телу силами и сообщаемым ему угловым ускорением ?.

Рассмотрим элементарную частицу тела dm и приложим к ней нормальную и касательную составляющие силы инерции. Приложив силы инерции ко всем частицам тела, получим уравновешенную систему сил. Применим к этой системе уравнения равновесия. Алгебраическую сумму вращающихся моментов внешних сил относительно оси вращения у обозначим

Нормальные силы инерции пересекают ось вращения и не создают относительно нее момента. Касательные силы инерции создают моменты относительно оси вращения. Плечом касательной силы инерции каждой точки является соответствующий радиус ri.

Направление суммарного момента этих сил противоположно направлению углового ускорения ? и вращающего момента так как касательная сила инерции любой точки направлена противоположно ее касательному ускорению. Значение касательной силы инерции точек вращающего тела определяется по формуле: Составим уравнение моментов относительно оси вращения у: откуда Подставив значение , получим

Вынесем значение углового ускорения за знак суммы как величину, одинаковую для всех точек тела, получим: Множитель при — знакомая нам величина; это момент инерции тела относительно оси у: Окончательно получим:

Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения. Из уравнения следует, что

Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определенного углового ускорения. Поэтому момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном движении аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.