Билет №19 Угловая скорость и угловое ускорение, и их связь с линейной скоростью и ускорением.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Связь с линейной скоростью и ускорением.

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис.7). Размерность угловой скорости dim w=T–1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.

Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = T соответствует = 2p, то = 2p/T, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения: Откуда

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедленном — противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

где w0 — начальная угловая скорость.

Билет №20

Момент силы. Плечо силы.

Моментом силы относительно точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы. Он направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы. СИЛА НА ПЛЕЧО :DD

Плечо силы — относительно точки (в механике), кратчайшее расстояние от данной точки (центра) до линии действия силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на линию действия силы

Если мом силы по часов стрелки, то момент отрицательный, а если против, то положительный. Если O— точка, относ кот находится момент силы F, то момент силы обозначается символом Мо(F). Если точка приложения силы F определяется радиусом-вектором r относительно О, то справедливо соотношение Мо(F)=г х F. (3.6) Т.е. момент силы равен векторному произведению вектора r на вектор F. Модуль векторного произведения равен Мо(F)=rF sin a=Fh, (3.7) где h — плечо силы. Вектор Мо(F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F, и против часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы F. Формулу (3.7) можно записать в виде MO(F)=2S, (3.8) где S– площадь треугольника ОАВ. Пусть x, у, z — координаты точки приложения силы, a Fx, Fy, Fz — проекции силы на координатные оси. Если т. О нах. в начале координат, то момент силы:

Значит, проекции момента силы на координатные оси определяются ф-ми: Mox(F)=yFz–zFy, Moy(F)=zFx–xFz, Moz(F)=xFy–yFx (3.10).

Введем понятие проекции силы на плоскость. Пусть дана сила F и нек-ая пл-ть. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 3.5). Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость. Проекцией силы F на пл-ть xOy будет Fxy. Момент силы Fxy отн. т. О (если z=0, Fz=0) будет Mo(Fxy)=(xFy–yFx)k. Этот момент направлен вдоль оси г, а его проек­ция на ось z в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы F относительно точки О.Т.е, MOz(F)=МОz(Fxy)=xFy–yFx. (3.11). Тот же результат можно получить, если спроектировать силу F на любую другую плоскость, парал­лельную плоскости хОу. При этом точка пересечения оси с плоскостью будет уже иной (обозначим О1). Однако все входящие в правую часть равенства (3.11) величины х, у, Fx, Fy останутся неизменными: MOz(F)=MOlz(Fxy). Проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси. Вместо MOz(F) запишем Mz(F). Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси z. Перед вычислениями силу F проецируют на пл-ть, перп оси. Мz(F)=Мz(Fxy)=±Fxyh (3.12). h- плечо. Если по часовой стрелки, то +, против –. Для вычисления мом. сил нужно: 1) выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси; 2) спроектировать на эту плоскость силу; 3) определить плечо проекции силы h. Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком. Из (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю: 1) когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т. е. когда сила и ось параллельны; 2) когда плечо проекции h равно нулю, т. е. когда линия действия силы пересекает ось. Или: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось находятся в одной плоскости.

Введем понятие момента пары. Найдем, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно про­извольной точки. Пусть О — произвольная точка пространства (рис. 3.8), a F и F' — силы, составляющие пару. Тогда Мо(F)=ОАxF, Мо(F')= OBxF', откуда Мо(F)+Мо(F')=ОАxF+OBxF', но так как F'=–F, то M0(F)+M0(F')=OAxF–ОBхF=(ОА– OB)xF. Принимая во внимание равенство ОА–ОВ=ВА,окончательно находим: M0(F)+M0(F')=BAхF. Т.е., сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты. Векторное произведение ВАxF называется моментом пары. Обозначается момент пары символом М(F,F'), причем М(F,F')=BAxF=АВxF', или, М=ВАхF=АВхF'. (3.13). Момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если h – плечо пары, то М(F,F')=hF. Чтобы пара сил сост уравновеш сист необх: чтобы момент пары=0, либо плечо=0.