4. Приложения тройных интегралов
кратный интеграл инерция статистический
1) Объем тела :
2) Масса тела плотности:
3) Моменты инерции тела относительно координатных осей и начала координат:
4)
Статистические моменты тела относительно
координатных плоскостей
,
,
:
5) Координаты центра масс тела:
Рассмотрим приложения тройных интегралов на конкретных задачах.
Пример 1
Найти
объем тела, ограниченного плоскостями
Решение:
Зададим
область
неравенствами:
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
3)
Ответ:
Пример 2
Найти массу тела, ограниченного плоскостями
плотности
Решение:
Зададим область неравенствами:
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Выполним поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
=
3)
Ответ:
Пример 3
Найдите
моменты инерции тела, ограниченного
плоскостями
и плотностью
относительно координатных осей и начала
координат.
Решение:
Зададим область V неравенствами:
Найдем
момент инерции
.
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
=
3)
Найдем
момент инерции
.
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
3)
Найдем
момент инерции
.
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
3)
Найдем
момент инерции
.
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
3)
Ответ:
Пример 4
Найти статистические моменты тела, ограниченного плоскостями и плотностью относительно координатных плоскостей , , .
Решение:
Зададим область V неравенствами:
Найдем
статистический момент
.
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
3)
Найдем
статистический момент
.
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
3)
Найдем
статистический момент
.
Перейдем от тройного интеграла к повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
1)
2)
3)
Ответ:
Пример 5
Найти координаты центра масс тела, ограниченного плоскостями и плотностью .
Решение:
Из примера 4:
Из примера 2:
Ответ:
5. Контрольная работа по теме: «Приложения кратных интегралов»
Вариант 1
Задание 1.
Дано
тело, ограниченное плоскостями
и
плотности
.
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти
площадь фигуры, заданной неравенствами:
.
Задание 3.
Найти
момент инерции фигуры, заданной
неравенствами:
;
относительно начала координат, если
его плотность постоянна и равна 6.
Задание 4.
Найти
массу плоской фигуры, заданной
неравенствами:
с переменной плотностью
Вариант 2
Задание 1.
Дано
тело, ограниченное плоскостями
и
плотности
.
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти
площадь фигуры, заданной неравенствами:
.
Задание 3.
Найти
момент инерции фигуры, заданной
неравенствами:
;
относительно начала координат, если
его плотность постоянна и равна 2.
Задание 4.
Найти
массу плоской фигуры, заданной
неравенствами:
с переменной плотностью
Вариант 3
Задание 1.
Дано
тело, ограниченное плоскостями
и
плотности
.
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти
площадь фигуры, заданной неравенствами:
.
Задание 3.
Найти
момент инерции фигуры, заданной
неравенствами:
;
относительно начала координат, если
его плотность постоянна и равна 2.
Задание 4.
Найти
массу плоской фигуры, заданной
неравенствами:
с переменной плотностью
Вариант 4
Задание 1.
Дано
тело, ограниченное плоскостями
и
плотности
.
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти
площадь фигуры, заданной неравенствами:
.
Задание 3.
Найти
момент инерции фигуры, заданной
неравенствами:
;
относительно начала координат, если
его плотность постоянна и равна 3.
Задание 4.
Найти
массу плоской фигуры, заданной
неравенствами:
с переменной плотностью
Вариант 5
Задание 1.
Дано
тело, ограниченное плоскостями
и
плотности
.
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти площадь фигуры, заданной неравенствами: .
Задание 3.
Найти
момент инерции фигуры, заданной
неравенствами:
;
относительно начала координат, если
его плотность постоянна и равна 3.
Задание 4.
Найти массу плоской фигуры, заданной неравенствами: с переменной плотностью