Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

ГОУ ВПО Костромской Государственный университет имени Н.А.Некрасова

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

«НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ»

студентки 4 курса специальности

032100 «Математика»

Ивановой Анастасия Андреевны

Научный руководитель:

старший преподаватель

Смирнова Алёна Олеговна

Кострома 2012

Содержание

Введение

1. Двойные интегралы

2. Тройные интегралы

3. Приложения двойных интегралов

4. Приложения тройных интегралов

5. Контрольная работа по теме: «Приложения кратных интегралов»

5.1 Ответы к контрольной работе

5.2 Демонстрационные варианты контрольной работы с решениями

Заключение

Список литературы

Введение

Интегрирование прослеживается еще в древнем Египте примерно в 1800 г до н.э. Математический папирус демонстрирует знание формулы объема усеченной пирамиды. Первым известным методом для расчета интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 г до н.э.), который пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известны.

Следующий крупный шаг в исчислении интегралов был сделан в Ираке в 11 веке математиком Ибн ал-Хайсамом. В своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвертой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определенного интеграла.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в 16 веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале 17 века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

Работа состоит из введения, теоретической части, состоящей из четырех пунктов, практической части, заключения и списка используемой литературы.

В первой части рассматривается и вводится понятие двойного интеграла, во второй части – понятие тройного интеграла. В третьей и четвертой частях рассматриваются приложения кратных интегралов.

Область исследования – математический анализ

Объект исследования – теория кратных интегралов

Предмет исследования – двойные и тройные интегралы

Проблема исследования – применение кратных интегралов

Методы исследования – изучение литературы, сравнение, обобщение, аналогия, анализ и классификация информации

Цель исследования – изучить теорию кратных интегралов и разработать варианты контрольной работы по теме «Приложения кратных интегралов»

Задачи исследования:

- раскрыть понятия «двойной интеграл», «тройной интеграл».

- рассмотреть некоторые приложения кратных интегралов

- показать примеры вычисления кратных интегралов

- рассмотреть применение кратных интегралов для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.

- самостоятельно разработать варианты контрольной работы по теме «Приложения кратных интегралов».

1. Двойные интегралы

Рассмотрим в плоскости замкнутую область , ограниченную линией .

Разобьем эту область какими-нибудь линиями на n частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим . Выберем в каждой части точку . Пусть в области D задана функция . Обозначим через значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида : : , называемую интегральной суммой для функции в области .

Если существует один и тот же предел интегральных сумм при и , не зависящий ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается:

Вычисление двойного интеграла по области , ограниченной линиями: , где и непрерывному на , сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

Пример вычисления двойного интеграла

Вычислить двойной интеграл: ; D:

Решение:

Зададим область D неравенствами:

D:

Перейдем от двойного интеграла к повторному:

=

Проведем поэтапное вычисление интеграла:

1) =

=

2) = =

=

Ответ: 4

2. Тройные интегралы

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область , ограниченная замкнутой поверхностью . Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию . Затем разобьем область на произвольные части , считая объем каждой части равным , и составим интегральную сумму вида:

Предел при интегральных сумм, не зависящий от способа разбиения области и выбора точек в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции по области :

Тройной интеграл от функции по области равен трехкратному интегралу по той же области:

Пример вычисления тройного интеграла

Вычислить тройной интеграл: ;

V:

Решение:

Перейдем от тройного интеграла к повторному:

=

Проведем поэтапное вычисление интеграла:

1)

2)

=

=

3)

=

=

4)

Ответ: 12,5

3. Приложения двойных интегралов

1) Площадь плоской фигуры :

2) Объем тела, ограниченного поверхностями:

3)Площадь части криволинейной поверхности:

4) Момент инерции относительно начала координат плоской фигуры :

5) Масса плоской фигуры переменной поверхностной плотности

Рассмотрим приложения двойных интегралов на конкретных задачах.

Пример 1

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: .

Решение:

Зададим область D неравенствами:

D:

Вычислим двойной интеграл

Ответ: S=36

Пример 2

Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями:

Решение:

Зададим область D неравенствами:

D:

Перейдем от двойного интеграла к повторному.

= .

Проведем поэтапное вычисление интеграла.

1)

2)

Ответ:

Пример 3

Найти площадь части конуса , заключенной внутри цилиндра

Решение:

Зададим область D неравенствами в полярных координатах:

D:

Найдем частные производные:

Перейдем к полярным координатам и заменим двойной интеграл повторным:

Проведем поэтапное вычисление интеграла:

1)

2)

Ответ:

Пример 4

Найти момент инерции фигуры, заданной неравенствами:

относительно начала координат, если его плотность постоянна и равна 3.

Решение:

Зададим область D неравенствами:

,

Перейдем от двойного интеграла к повторному:

Проведем поэтапное вычисление интеграла:

1)

2)

Ответ:

Пример 5

Найти массу плоской фигуры, заданной неравенствами: с переменной поверхностной плотностью: .

Решение:

Перейдем от двойного интеграла к повторному:

.

Проведем поэтапное вычисление интеграла:

1)

2)

Ответ: