1. Случай соответствует системе на границе устойчивости.

Фазовая плоскость делится на области с качественно различным поведением системы.

Особые линии – границы перехода из одной области в другую.

Особый вид особых линий – предельный цикл.

Предельный цикл – замкнутая изолированная траектория.

В соответствии с этим определением эллипс в (1) случае не является предельным циклом, так как он не изолирован, и вблизи него можно расположить подобный.

Различают предельные циклы устойчивые и неустойчивые.

Предельный цикл называется устойчивым, если фазовые траектории стремятся к нему с обеих сторон.

Предельный цикл соответствует автоколебательному режиму движения системы.

В неустойчивом предельном цикле фазовые траектории уходят от него.

Предельные циклы могут быть вложенными. При этом они чередуются по устойчивости.

Если известны все особые точки и особые линии то говорят, что известен фазовый портрет системы.

Система регулирования температуры в печи.

Фазовый портрет.

В данной системе регулирования имеем 2 участка: AB и BD.

Следующие участки аналогичны.

Фазовая плоскость разделена на две части:

Участок AB:

Рассматриваем область фазовой плоскости соответствующей AB.

AB

(1)

(2)

(3)

- асимптота, так как не существует.

Такой фазовый портрет имела бы система, если бы она описывалась уравнением (3).

На участке BD.

BD

(1)

- асимптота, так как не существует.

На обоих участках система неустойчива, так как , но у нас система релейная и каждый фазовый портрет справедлив только для своей области. Эти области разделяют линии переключения.

Устанавливается предельный цикл, установившееся состояние системы – автоколебательное движение.

Форма предельного цикла даст нам .

Приближенные методы построения фазовых траекторий.

В большинстве случаев нелинейные уравнения приводят к нелинейным фазовым траекториям. Необходимы другие методы. Широко применяют приближенные методы построения фазовых траекторий.

Метод изоклин.

- уравнение изоклины.

- уравнение изоклины.

Изоклин бесконечно много. Практически строят ограниченное число изоклин.

- уравнение изоклин для системы 2-ого порядка.

Построив для различных значений изоклины в виде прямых линий, проходящих через начало координат мы получим поле изоклин. Траектории пересекают изоклины под определенным углом наклона.

Как, имея поле изоклин, построить фазовую траекторию?

Имеется 2 способа:

- фазовая траектория.

Чем гуще заполнено поле изоклин, тем точнее построение фазовой траектории.

2-ой способ:

- фазовая траектория.

Траектория строится до тех пор, пока не восстановим асимптотические свойства траекторий.

Например: спираль неуклонно сворачивается.

Достоинства: метод универсален, его можно использовать для любой системы.