Корни вещественные, отрицательные.
(1)
две экспоненты можно суммировать и получить переходные процессы различного вида. В зависимости от 1 и 2 получим три вида переходных процессов:
(2)
выразим 
и
подставим
(3)
выразим 
и
подставим
(4)
из уравнений (3) и (4) исключим время, для этого уравнение (4) возведем в степень 2 а (3) в степень 1.
допустим, что 2 > 1
обозначим 
Ось U:
Ось V:
Точка равновесия здесь начало координат – устойчивый узел.
Траектория
заканчивается в начале координат, но
изображающая точка не приходит в начало
координат за конечное время, изображающая
точка движется к началу координат с
уменьшением
и
,
следовательно, уменьшается и скорость
.
Когда
и
скорость
и поэтому изображающая точка попадает
в начало координат за бесконечное время.
Парабола – интегрирующая кривая, но она не является фазовой траекторией, так как интегрирующая кривая состоит из 3-х фаз в зависимости от начальных условий. Однако все три траектории, соответствующие этим фазам заканчиваются в начале координат и остаются там бесконечно долго. Здесь фазовая траектория и интегрирующая кривая не одно и то же, как это было во всех предыдущих случаях, однако система устойчива, так как корни отрицательные вещественные при любых начальных условиях.
Корни положительные вещественные.
Ось U:
Ось V:
Имеются 2 случая:
- со сменой знака;
- без смены знака.
Траектории расходятся от начала координат, то есть система с положительными корнями неустойчива.
Точка равновесия в начале координат – неустойчивый узел.
Чем дальше удаляется изображающая точка от начала координат, тем быстрее она движется, скорость постоянно возрастает.
Корни вещественные различных знаков.
-
уравнение гиперболы
Только по одной асимптоте мы попадаем в начало координат, и движение по ней называется лимитационным.
В начало координат попадаем в случае если начальные условия точно принадлежат данной прямой. Практически это невозможно, так как линия – это длина без ширины.
Движение по всем другим траекториям является неустойчивым.
Особая точка – начало координат – особая точка типа «седло».
Особые точки и особые линии.
Если выполняется
условие Коши (непрерывность функции и
конечность производной) то
в каноническом уравнении определена в
любой точке фазовой плоскости.
Фазовые траектории нигде не пересекаются за исключением начала координат. - касательная к фазовой траектории.
Те точки, в которых не определена – особые точки.
Если точка не особая, то через нее проходит одна интегральная кривая.
Если точка особая, то через нее либо не проходит ни одна кривая либо проходят несколько.
- каноническое уравнение.
При всех
и
производная
определена за исключением точки, где
и
.
Эта точка – начало координат – является
особой точкой.
Особая точка, через которую не проходит ни одна кривая, и вокруг которой траектории замкнуты в виде эллипса – особая точка типа «центр». (1)
Особая точка, траектории вокруг которой имеют вид спирали, по которой изображающая точка стремится к началу координат – особая точка типа «устойчивый фокус». (2)
Особая точка, траектории вокруг которой имеют вид спирали, по которой изображающая точка удаляется от начала координат – особая точка типа «неустойчивый фокус». (3)
Когда траектории проходят через начало координат и изображающая точка по ним стремится к началу координат, то особая точка – начало координат – «устойчивый узел». (4)
Когда траектории проходят через начало координат и изображающая точка по ним удаляется от начала координат, то особая точка – начало координат – «неустойчивый узел». (5)
Точки, вблизи которых траектории располагаются в виде гиперболы – «седло». (6)
Рассмотренные особые точки называются элементарными. Возможны комбинации в виде сдвоенных особых точек и другие более сложные случаи.
Вблизи особых точек система ведет себя неустойчиво (3, 5, 6). Если имеем устойчивый фокус или устойчивый узел – система устойчива (2, 4).