Исследование устойчивости нлс на фазовой плоскости.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что одно дифференциальное уравнение n-ого порядка можно представить в виде системы n уравнений 1-ого порядка.
(1)
xi – координаты системы (i=1, 2, 3, ..., n)
f – возмущающее воздействие
g – задающее воздействие
В теории управления обычно записывают перем в отклонениях от установившихся режимов.
(2)
система (1) записывается в виде (2).
при
g=const и
f=const
Рассмотрим некоторое состояние системы в переходном режиме в некоторый момент времени t. Если рассматривать n – мерное пространство, то в начале координат этого пространства удобно использовать переменную xi, получим точку, отображающую систему в определенный момент времени.
Однако мы всегда должны знать начальное условие.
В следующий момент времени изображающая точка переместится, и мы получим фазовую траекторию.
Пространство – фазовое пространство.
Траектория – фазовая траектория.
Время в фазовом пространстве не фигурирует, но состояние системы изменяется с течением времени, поэтому мы видим характеристики движения, но о времени движения ничего сказать не можем.
При n=2 пространство вырождается в плоскость.
Система находится
в установившемся режиме, когда каждое
и
,
то есть начало координат отображает
установившийся режим или состояние
покоя.
В устойчивых режимах с течением времени все траектории стремятся к началу координат.
Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости систем.
Установившийся
режим устойчив, если при сколь угодно
малой окрестности установившегося
режима
можно найти такую область
в области остановившегося режима, что
при начальных условиях лежащих внутри
области
переходный процесс не выйдет из области
при сколь угодно большом времени
.
-
траектория
устойчивой системы
Для того чтобы научиться анализировать фазовый портрет НЛС, рассмотрим сначала фазовый портрет линейной системы 2-ого порядка.
Если изменить начальное условие, то изображение состояния системы будет иметь другое начальное состояние и другую траекторию. Совокупность всех фазовых траекторий отображает портрет системы.
Рассмотрим однородную систему первого порядка:
при расчете по теореме Виета
корни чисто мнимые.
комплексные корни с отрицательной вещественной частью
комплексные корни с положительной вещественной частью
корни отрицательные вещественные
корни положительные вещественные
корни вещественные различных знаков
Общий принцип построения фазовых траекторий содержит построение по уравнениям интегральных кривых.
Для построения по фазовой плоскости нужно из уравнения (1) исключить время, и преобразовать его к 2-м уравнениям 1-ого порядка.
2
уравнения 1-ого порядка
(3)
каноническое уравнение интегральных кривых
порядок этого уравнения обычно на единицу меньше порядка исходного уравнения.
Интегральные кривые и фазовые кривые это одно и то же, интегральная кривая может несколько фазовых траекторий, а в частном случае совпадать с ней.
Корни чисто мнимые.
из (3):
(4)
уравнение интегральной кривой
Получаем семейство эллипсов, так как А зависит от начальных условий.
Чтобы получить фазовый портрет, достаточно показать в каком направлении движется изображающая точка.
Выходная величина х меняется во времени
Изображающая точка движется по замкнутым траекториям. Если не действует возмущение, точка непрерывно движется по эллипсу.
Корни комплексные с отрицательной вещественной частью.
Полученное уравнение
соответствует графику свертывающейся
логарифмической спиралью, так как при
Точка равновесия в начале координат – устойчивый фокус.
Корни комплексные с положительной вещественной частью.
при
П
незатухающие
колебания
На плоскости
построим переходный процесс в виде
колебаний с неограниченно возрастающей
амплитудой.
Точка равновесия на фазовой плоскости – неустойчивый фокус.