Нелинейные системы.
Общая характеристика нелинейности.
Сложность – нет общего метода решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Аппроксимация нелинейных систем до линейных.
Представление нелинейных элементов линейными.
линейные системы работоспособны только в том случае, когда они устойчивы, а нелинейные системы имеют неустойчивые режимы (автоколебания) даже в нормальных условиях работы.
для нелинейных систем неприменим принцип суперпозиции.
Нелинейные звенья систем управления.
Нелинейность можно классифицировать по различным показателям:
симметричность;
гладкость;
однозначность.
Симметрия: 1.
2.
Если функция не обладает свойствами 1 и 2, то несимметричная нелинейность.
Гладкость. Если
в любой точке
существует
,
то такая зависимость
называется гладкой.
Однозначность. Если для каждого значения х имеется определенное число z, то такая характеристика однозначна.
Нелинейная характеристика с определенным участком двузначности.
Многозначная нелинейная система.
Типовые нелинейные звенья.
Это звенья с однозначными непрерывными характеристиками.
1). «Зона нечувствительности».
Механическая модель звена типа «зона нечувствительности».
2). «Ограничение или насыщение».
Негладкая, так как
производная имеет 2 точки разрыва.
Механическая модель звена типа «ограничение или насыщение».
3). «Ограничение с зоной нечувствительности».
Механическая модель звена типа «ограничение с зоной нечувствительности».
Звенья с однозначными разрывными характеристиками.
1). Звено типа «двухпозиционное реле без гистерезиса».
2). Звено типа «трехпозиционное реле без гистерезиса».
при
б)
при
,
При анализе и синтезе нелинейных систем часто пользуются идеализированными характеристиками, полученными в результате предельных переходов.
Звенья с двузначными характеристиками.
Звено типа «двухпозиционное реле с гистерезисом».
На участке
выходная величина z
имеет два значения zb
и
zb
в зависимости
от предшествующих значений х.
Эту зону двузначности ограничивают
переходы:
снизу вверх при
и
сверху вниз при
и
Звено типа «трехпозиционное реле с гистерезисом».
Переход от z=0
к
происходит в точке
,
а обратный переход от
к z=0
происходит в точке
.
Зону двузначности на участке, где
проходим в соответствии со знаком
.
Звено с многозначными характеристиками.
З
вено
типа «люфт».
Если в нелинейности типа «зона нечувствительности» убрать механическую пружину, стремящуюся вернуть вал в нулевое положение, получим нелинейность типа «люфт».
Зависимость между
положением ведущего x
и ведомого z
вала неоднозначна. Каждому положению
ведущего вала x
соответствует множество положений
ведомого вала z,
лежащего в пределах
Механическая модель.
Аналитическое описание:
Статика нелинейных систем.
Особенности характеристик соединений нелинейных звеньев.
-
оператор лямбда (символ преобразования).
Входная величина
преобразуется в выходную величину
в соответствии с нелинейным дифференциальным
уравнением, описывающим динамику
нелинейного элемента, и может быть
обозначена оператором преобразования
.
Преобразование
сигнала
может быть представлено в виде
последовательного воздействия линейного
оператора
,
выражающего динамические свойства
звена, и нелинейного оператора
,
выражающего статическое преобразование
сигнала.
2.
- линейный оператор
-
нелинейный оператор
- прямой и обратный
преобразователь Лапласа
В случае, когда
тогда
.
В общем случае недопустима перестановка линейного и нелинейного операторов, реализующих нелинейное преобразование . Исключение – когда в качестве линейного оператора звено чистого запаздывания . Поскольку перенос звена запаздывания через нелинейное звено не изменяет свойств системы.
При рассмотрении
статики нелинейных систем величины x
и z
не зависят от времени, а линейное звено
может рассматриваться как приближенное
.
Аналогично соединениям линейных звеньев будем исходить из 3-ех видов соединения:
а) последовательное НЛЗ
б) параллельное согласное НЛЗ
в) параллельное встречное НЛЗ
а) Последовательное соединение звеньев.
Построим графически
при заданных характеристиках
и
.
При построении в 4-ех квадрантах в 3-ем
удобно воспроизвести
,
дополнительную характеристику (прямая
под 45),
которая облегчает переход от
в характеристике
к оси
в характеристике
- такие звенья
называются взаимообратными.
Последовательное действие взаимообратных звеньев эквивалентно действию линейного элемента с коэффициентом усиления =1.
kобщ=1
б) Параллельное согласное соединение.
В результате графического наложения может показаться, что результат линеен и kобщ=1. Такие звенья называются взаимодополнительными и для них:
Когда
- эквидистанционность на оси z
относительно прямой
.
в) Параллельно-встречное соединение.
условия формирования параллельно-встречного соединения
