31. Еліпс : означення, рівняння, графік, вершини, півосі, фокуси, ексцентриситет, директриси.
Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких до двох заданих точок, які називаються фокусами еліпса, є виличиною сталою.
Е
ліпсом
називають лінію, яка в деякій декартовій
прямокутній системі координат
задається рівнянням:
Еліпс належить до кривих другого порядку.
Точки
і
називають
фокусами
еліпса, а відстань між ними — фокусною
відстанню, її позначають через
,
отже,
.
Суму відстаней від будь-якої точки
еліпса
до фокусів
і
позначимо
.
Тоді за означенням маємо:
.
Звідси можна сказати, що еліпс складається
з таких і тільки таких точок
,
які задовольняють умові:
Осі еліпса
Відрізок
,
що проходить через обидва фокуси
і
,
називають великою віссю еліпса, а
перпендикулярний йому відрізок
,
що перетинається з великою віссю в
центрі еліпса
–
відповідно його малою віссю. Довжина
цих відрізків відповідає умові
.
Еліпс симетричний відносно своїх осей
та центру.
Директриса та ексцентриситет
Число
це
ексцентриситет
еліпса, величина, що характеризує його
витягнутість; для еліпсу
.
Прямі, рівняння яких
називаються
директрисами
еліпса; співвідношення відстані від
будь-якої точки еліпса до найближчого
фокусу до відстані до найближчої
директриси стале і дорівнює ексцентриситету.
Зауважимо, що
величинами, які характеризують еліпс,
є велика і мала півосі
і
,
відстань
фокуса
від центру, ексцентриситет
.
Залежність між ними виражається
формулами:
.
Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить
знати або півосі
і
,
або одну піввісь і ексцентриситет і
т.д.
Якщо точки
і
збігаються,
то еліпс стає колом радіуса
.
При цьому
.
Отже, коло
є окремим випадком еліпса.
Вершини еліпса
Точки
перетину
еліпсу з осями прямокутної системи
координат, вибраної так щоб початок
координат був серединою відрізка
,
а вісь
збігалася
з прямою
,
називають вершинами еліпсу.
32. Гіпербола : означення, рівняння, графік, спряжена гіпербола, вершини, осі, фокуси, ексцентриситет, асимптоти, директриси.
Гіперболою називається геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней яких до двох заданих точок, що називаються фокусами гіперболи, є величиною сталою.
Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:[1]
де a > 0 та b > 0 — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.[2]
Ексцентриситетом гіперболи називаються відношення відстані між фокусами гіперболи до довжини її дійсної осі : 2с/2а = с/а.
33. Парабола : означення, рівняння, графік, спряжена гіпербола, вершина, фокус, ексцентриситет, директриса. Різновиди розміщення параболи на площині та її рівняння
Пара́бола (від грец. παραβολή) — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої. Одна з кривих другого порядку.
Точка зветься фокусом, а пряма - директрисою.
Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат:
(або
,
якщо поміняти місцями осі).