21.Кут між двома прямими заданими канонічним рівнянням. Умови паралельності і перпендикулярності прямих.

Нехай прямі та задано канонічним рівняннями

, кут між цими прямими

cos

Якщо прямі та паралельні, то вектори S та S колінеарні, тому їхні координати пропорційні, то

- умова паралельності двох прямих

Якщо прямі та перпендикулярні, то вектори S та S перпендикулярні і їхній скалярний добуток =0 , m +n = 0 – умова перпендикулярності двох прямих.

22. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Відстань від точки до прямої.

Точка В(0;b) і кут однозначно визначають пряму L на площині.

y=MC+CN=BCtg +b=xtg

Позначимо k= tg і одержимо шукане рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx+b, де k- кутовий коефіцієнт прямої, - це кут між прямою і додатним напрямом осі ОХ.

Відстань від точки до прямої

Відстань від точки до прямої L дорівнює довжині перпендикуляра M M , опущеного з точки M на пряму. Складемо рівняння прямої M M як рівняння прямої, що проходить через дану точку M (x ;y ) паралельно до даного вектора n(A;B):

, звідки В( )-А(y-y )=0

Координати точки M (x;у) як точки перетину прямих L і M M задовольняють рівняння обох прямих, тобто систему рівнянь

d= - відстань від точки М до прямої Ах +Ву +С=0.

23.

Кут між прямими, що задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом . Умови паралельності та перпендикулярності.

У= k та y = k визначається з рівності , звідки

, tg ,звідки випливають умови паралельності та перпендикулярності прямих L та L

L L L L =1+

24. Різновиди рівняння площини у просторі: за трьома точками, у відрізках на осях, нормальне.

Рівняння площини , що проходить через три задані точки :

і лежать у шуканій площині, тобто компленарні, тому мішаний добуток цтх векторів дорівнює нулю ( = 0.

Рівняння площини у відрізках на осях: , де a,b,c – відрізки, які відсікає площина відповідно на осях Ox , Oy, Oz.

Нормальне рівняння площини: xcos , де cos ,

25.Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Загальне рівняння площини і його дослідження. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Нехай )- задана точка площини, вектор n=(A B C)перпендикулярний цій площині , а М(x y z) – деяка змінна точка площини. Оскільки n=(A B C) перпендикулярний М(х- A(x − ) + B(y − ) + C(z − ) = 0- шукане рівняння площини.

26. Загальне рівняння площини і його дослідження.

Ax+By+Cz+D=0 – загальне рывняння площини. Дослідження:

1Якщо А=0, то площина By+Cx+D=0 паралельна осі Ох

2.Якщо В=0, ТО площина Ax+Cz+D=0 паралельна осі Оу

3.Якщо С=0 то площина Ax+By+D=0 паралельна осі Оz

4.Якщо D=0, то площина Ax+By+Cz=0 проходить через початок координат.

5.Якщо А=В=0, то площина Cz+D=0паралельна площині хОу

6.Якщо А=С=0, то площина By+D=0 паралельна площині хОz

7.Якщо В=С=0, то площина Ax+D=0 паралельна площині yОz

8.Якщо A=D=0, то площина By+Cz=0 проходить через вісь Ох

9.Якщо B=D=0, то площина Ax+Cz=0 проходить через вісь Оy

10. Якщо C=D=0, то площина Ax+By=0 проходить через вісь Оz

11. Якщо A=B=D=0, то одеожимо z=0- площина уОх

12.Якщо A=C=D=0, то одеожимо y=0- площина xОz

13. Якщо B=C=D=0, то одеожимо x=0- площина yОz

27.Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини.

Кут між площинами визначається кутом між їхніми нормальними векторами, а саме:

Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Площини паралельні, якщо : . Площини перпендикулярні, якщо + =0.

Відстань від точки до площини: d=

28.Різновиди рівняння прямої в просторі: канонічне, параметричні, за двома точками. Пряма як перетин двох площин.

Канонічне. Візьмемо змінну точку М(х у z) на прямій L , тоді вектори

= =

Параметричне рівняння прямої:

За двома точками:

Пряма як перетин двох площин. Нехай дві площини перетинаються, то перетином цих площин є точка.

29.Кут між прямими в просторі.Кут між прямоюі площиною . Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини. Знаходження точки перетину прямої і площини.

Кут між прямими в просторі , заданими канонічними рівняннями, визначається кутом між напрямними векторами цих прямих:

.Звідси випливають умови паралельності і перпендикулярності.

Прямі паралельні коли: , а перпендикулярны, коли

30. Поняття кривих ліній другого порядку. Дослідження рівняння другого порядку. Коло.

Криві лінії другого порядку – це множина точок, координат яких задовольняють рівняння виду.

Де коефіцієнти a,b,c,d,e,f – дійсні числа, причому хоча б одне із чисел a,b,c відмінне від нуля.

До кривих другого порядку на площині належать : коло, еліпс, гіпербола, парабола.

Колом називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки – центра кола на відстані радіуса кола.

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній декартовій системі координат x і y, з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням:

У випадку, коли центр кола збігається з початком координат, а=b=0 і рівняння набуває вигляду:

x² + y² = R²

Загальне рівняння кола:

У випадку, коли центр кола збігається з початком координат, а=b=0 і рівняння набуває вигляду:

x² + y² = R²