13.Метод Жордана-Гаусса.Алгоритм кроку перетворення Жордано-Гаусса.
Щоб не виконувати обернений хід метода Гаусса, здійснюють повне виключення невідомих у стовпчику за допомогою розв’язуваного елемента. Цей метод називають методом Жордана-Гаусса.
Алгоритм:
Обираємо розв’язуваний елемент aij не дор. 0(доцільно обирать 1).
Елементи i-го рядка ділимо на aij і записуємо у i-й рядок.
У розв’язуваному j –ому стовбці замість aij пишуть 1,а замість інших елементів цього стовпця пишуть 0.
Усі інші елементи знаходять за формулою
аkl=(aijakl – akjail)/aij , де aij – розв»язуваний елемент. k=1,2…m , l=1,2…n Обчислення елементів аkl за даною формулою доцільно виконувати за схемою трикутника.
14. Скалярний векторний добуток. Властивості векторного добутку.
Скалярним добутком двох векторів ᾱ та ᵬ називається дійсне число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними і позначається ab.
ab=|a|*|b|*cosφ
Якщо хоча б один з векторів a чи b нульовий,то за означенням ab = 0.
Властивості векторного добутку:
1.ab= - ba
2.(ka)b=k(ab)
3.a(b+c)=ab+ac
|a*b|=Sпаралелограма
Векторним добутком векторів a та b називається третій вектор с=a*b
Довжина вектора сдорівнює: с=|a|*|b|*sinφ, де φ кут між векторами a та b.
Вектор с перпендикулярний до кожного з векторів a та b
Вектори a та b ,с утворюють праву трійку векторів
15.
Мішаний добуток. Властивості мішаного добутку.
Мішаним добутком векторів а,в,с називається скалярний добуток вектора а*b на вектор с , тобто (аb)c.
Властивості мішаного добутку:
(a*b)c=a(b*c)=abc, тобто в мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутку можна міняти місцями.
При перестановці двох векторів мішаний добуток змінює свій знак
Мішаний добуток не зміниться,якщо вектори змінювати по колу
Мішаний добуток = о, якщо хоча б один з них нульовий
Модуль мішаного добутку векторів авс дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах
Мішаний добуток векторів обчислюється за формулою abc=
16. Векторний простір, його розмірність,базис. Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів.
Упорядкована множина n дійсних чисел а1,а2,а3 наз. n-вимірним векторним простором R.
Система
векторів наз. лінійно залежною, якщо
існують такі числа х1,х2,х3,які одночасно
не дорівнюють нулю,що виконується
рівність:
.
Якщо ця
рівність можлива лише за умови,що
,
то вектори а1,а2…
називається лінійно незалежними.
Базисом n-вимірного векторного простору R наз. будь-яка сукупність n лінійно незалежних векторів,через які лінійно виражається довільний вектор цього простору.
Максимальне число лінійно незалежних векторів простору називається його розмірністю.
Якщо
вектори
утворюють базис у просторі R,то
довільний вектор а цього простору є
лінійною комбінацією базисних векторів,
тобто існують такі числа х
,
,які
одночасно не дорівнюють нулю,що
виконується нерівність : а
- розклад вектора за базисом.
17.
Рівняння ліній на площині. Вивести канонічне та параметричне рівняння прямої.
Рівняння F(х,у)=0 називається рівняння лінії на площині , якщо це рівняння задовольняє координати (х,у) будь-якої точки, що лежить на цій ліній , і не задовольняє координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.
Канонічне
– нехай відомі точка M
(
прямої та її напрямний вектор
,
a
M(x;y;z)
– деяка змінна точка цієї прямої.
Параметричні рівняння прямої:
Якщо позначити через t спільне значення відношень канонічного рівняння прямої, то отримуємо параметричні рівняння
t-
параметр
18.
Рівняння прямої,що проходить через дві точки:через задану точку перпендикулярно до заданого вектора; у відрізках на осях.
Відомі
координати двох точок на прямій
L:
М
(x
)
та М
.Складемо
рівняння прямої L.
Вектор М
М
(х
)
лежить на прямій L,
отже це напрямний вектор прямої L.
Якщо у канонічне рівняння прямої замість
координат точки М0 підставити М1, а
замість координат цієї напрямного
вектора l підставити координати іншого
напрямного вектора прямої – вектора
М
М
(х
),
то маємо
Рівняння прямої у відрізках на осях
Відомо,що пряма L відсікає на осях координат відрізки довжиною а і в
Точки
перетину прямої L
з
осями координат: М
- рівняння
прямої у відрізках на осях,
де а – довжина відрізка на осі ОХ , а в- ОУ.
A(
)+B(y-y
)=0
Воно ще називається рівнянням прямої яка проходить через задану точку,перпендикулярно до заданого вектора
Вектор n =(A;B) – нормальний вектор.
Ах + Ву +С = 0 загальне рівняння прямої.
Випадки рівняння прямої
Якщо А,В,С не = 0, то буде рівняння у відрізках на осях.
Якщо А = 0 ,то пряма Ву + С = 0 паралельна осі ОХ
Якщо В= 0, то Ах+С = 0,то паралельно осі ОУ
Якщо С = 0 ,то пряма Ах + Ву =0, то пряма через початок координат
Якщо В=С=0,то рівняння Ах=0 або х=0 визначає вісь Оу.
19.Загальне рівняння прямої і його частинні випадки.
A( )+B(y-y )=0
Воно ще називається рівнянням прямої яка проходить через задану точку,перпендикулярно до заданого вектора
Вектор n =(A;B) – нормальний вектор.
Ах + Ву +С = 0 загальне рівняння прямої.
Випадки:
Якщо А,В,С не = 0, то буде рівняння у відрізках на осях.
Якщо А = 0 ,то пряма Ву + С = 0 паралельна осі ОХ
Якщо В= 0, то Ах+С = 0,то паралельно осі ОУ
Якщо С = 0 ,то пряма Ах + Ву =0, то пряма через початок координат
Якщо В=С=0,то рівняння Ах=0 або х=0 визначає вісь Оу.
20.
.Нормальне рівняння прямої та рівняння пучка прямих.
Вектор, опущений з початку координат перпендикулярно на пряму називається вектором нормалі цієї прямої.
Рівняння L за за точкою Р(pcosa;psina) і перпендикулярним вектором р(pcosa;psina)
xcosa+ysina-p=o – нормальне рівняння прямої, де р –довжина перпендикуляра , а- кут між цим перпендикуляром і додатним напрямком осі ОХ.