9. Основні поняття система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n змінними. Правило Крамера. (n*n)

Розвязком СЛАР називається n значення невідомих х1=С1, х2=С2, х3=С3… хn=Сn при підстановці яких всі рівняння системи перетворюються в правильні рівності.

Система рівнянь називається сумісною,якщо вона має хоча б один розв*язок,і несумісною,якщо вона не має жодного розвязку.

Сумісна система називається визначеною,якщо вона має лише один розвязок,і невизначеною,якщо вона має безліч розв’язків. Дві системи рівнянь називають рівносильними, якщо множини їх розв»язків співпадають. Рівносильні системи одержуються при елементарних перетвореннях системи, які виконуються лише над рядками матриці. СЛАД назив однорідною, якщо всі вільні члени bi дорівнюють нулю. Правило Крамера:Якщо основний визначник неоднорідної системи n лінійних рівнянь з n невідомими не дорівнює 0,то ця система має єдиний розвязок,який знаходиться за формулою х_i=дельта і/дельта. i=1,n. Дельта не дорівнює нулю. Дельта і – визначник, отриманий з визначника дельта заміною і-того стовпця на стовпець вільних членів.

10. Матричний метод розв’язування слар.(метод оберненої матриці). Алгоритм розв’язування системи матричним методом. (n*n)

А*Х=В домножемо зліва на А в сепені -1,маємо А в степені -1*А*Х=А встепені -1*В,оскільки А в степені -1 *А=Е і Е*Х=Х,то Х=А в степені -1*В.

оскільки А^-1*А=Е і Е*Х=Х, то Х=А^-1*В.

Алгоритм розв’язування системи матричним методом:

1.Перевірити виконання умови.

-система повинна бути неоднорідною(стовпчик правих частин не =0).

-кількість рівнянь повинна дорівнювати кількості невідомих.

-визначник основної матриці не дорівнює нулю.

2.Знайти матрицю А в степені -1,обернену до матриці А. А^-1=1/(detA)*A^*

3.Знайти розвязок х ,шляхом множення матриці А в степені -1 на матрицю вільних членів В,тобто Х=А в степені-1*В.

11.Теорема Кронекера-Капеллі. Алгоритм розв’язання слар.

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими. Складаємо основну матрицю А та розширену матрицю Ᾱ цієї системи.

Для того,щоб система лінійних рівнянь була сумісною,необхідно і достатньо,щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної матриці.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих системи,то система має один розв’язок.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рану розширеної матриці,але менше числа невідомих систем,то система має безліч розв’язків.

Алгоритм:

1.Знайти ранг основної і розширеної матриць системи.

2.Якщо r(A)=r(A₁)=r,то потрібно взяти r рівнянь,із коефіцієнтів яких складено базисний мінор,інші рів-ня відкинути.

3.Базині невідомі залишають зліва,а інші невідомі переносять у праву частину рів-ня.

4.Виразити базисні невідомі через вільні. Отримаємо загальний розв’язок.

5.Якщо надати вільним значення нуль,то такий розв’язок називають базисним.

12.Основні поняття системи m лінійних рівнянь з n змінними. Розв’язок слар методом Гаусса.

Метод Гаусса ґрунтується на елементарних перетвореннях системи лінійних рівнянь. Нехай маємо систему m лінійних рівнянь з n невідомими.

На першому етапі (прямих хід) при виключенні невідомого х₁ з усіх рівнянь, починаючи з другого, х₂ – з усіх рівнянь, починаючи з третього, і т.д., СЛАР зводиться до трикутного або трапецієподібного вигляду.

На другому етапі (обернений хід), підставивши знайдене з останнього рівняння значення х_n у передостаннє, одержимо значення х_n-1 і т.д.; з першого рівняння знаходимо х_1.

Перший етап можна виконувати над розширеною матрицею системи за допомогою таких елементарних перетворень: додавання до елементів одного рядка відповідних елементів другого рядка, помножених на деяке число, що не =0. перестановка рядків або стовпців у матриці.