121. Поняття ряду. Збіжність ряду та його сума.

Нехай a₁, a₂,..., a_n ,.....є послідовність дійсних чисел. Вираз a₁+ a₂+...+ a_n+...=(∞∑n=1) a_n називають числовим рядом. Числа a₁, a₂,..., a_n ,..... називаються числами ряду, a_n –загальний член ряду. Ряд-це сума нескінченної кількості доданків, які можна занумерувати натуральними числами.

Ряд (∞∑n=1) a_n називається збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто lim(n→∞)S_n = S. Число S називається сумою ряду.

Якщо послідовність (S_n) частинних сум ряду розбіжна, то ряд називається розбіжним і ніякої суми йому не приписують.

Ряд (∞∑n=1) a_n і довільний його залишок одночасно збіжні або розбіжні.

Для збіжності ряду (∞∑n=1) a_n необхідно, але недостатньо виконання умови lim(n→∞)a_n=0.

122. Властивості збіжних рядів.

Якщо ряд (∞∑n=1) a_n збігається і має суму S, то ряд (∞∑n=1)C∙ a_n, одержаний множенням даного ряду на число C, також збігається і має суму C∙S.

Якщо (∞∑n=1) a_n і (∞∑n=1) b_n -два збіжних ряди відповідно з сумами S₁ та S₂, то ряд (∞∑n=1) (a_n + b_n ) також збігається і його сума дорівнює S₁ + S₂.

Відкидання (приписування) скінченої кількості членів не впливає на збіжність ряду.

Для того, щоб ряд (∞∑n=1) a_n збігався, необхідно і достатньо, щоб залишок ряду R_n прямував до нуля при n→∞, тобто lim(n→∞)R_n=0.

123. Необхідна ознака збіжності ряду.

Якщо ряд збігається, то границя його загального члену при n→∞ дорівнює нулю, тобто lim(n→∞)a_n=0. За умови збіжності ряду (∞∑n=1) a_n існує скінчена границя часткових сум lim(n→∞)S_n= lim(n→∞)S_n-1 = S. Тоді виразимо a_n через суму його n та (n-1) членів S_n= a₁+ a₂+...+ a _n , S_{n -1}= a₁+ a₂+...+ a_{n -1}, тоді a _n = S_n - S_{n -1.}. Остаточно маємо lim(n→∞)a_n = lim(n→∞) (S_n - S_{n -1}) = S – S = 0. Якщо lim (n→∞) a_n ≠ 0 або не існує, то ряд (∞∑n=1) a_n розбіжний.

124. Еталонні ряди.

Розглянемо деякі так звані еталонні ряди, що використовуються для порівняння. Для того,, щоб їх використовувати, необхідно знати, які ряди збіжні і які розбіжні.

• гармонічний ряд (∞∑n=1) 1/n – розбіжний.

• узагальнений гармонічний ряд (∞∑n=1) 1/n^p = 1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+… при p≤1-розбіжний, при p>1-збіжний.

• геометричний ряд (ряд геометричної прогресії) (∞∑n=1) a∙q^n-1 із знаменником q і першим членом a. При ‌│‌q│< 1- збіжний, при│q│‌‌‌‌‌‌≥‌1-розбіжний.

128.Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду з додатними членами існує границя =K, то при К<1 ряд збіжний, при К>1 ряд збіжний, при К=1 треба застосувати іншу ознаку.

129. Інтегральна ознака Коші.

Нехай задано ряд , де неперервна, додатна і монотонно спадна функція на проміжку [1;). Тоді даний ряд та невласний інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.

130. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.

Числовий ряд , члени якого мають довільні знаки, називаються знакозмінним рядом.

Частинним випадком знакозмінних числових рядів є ряд виду , знаки членів якого змінюються по черзі, який називається знакопочерговим рядом. Загальний член ряду , де , n=1,2,… .

Ознака Лейбніца(ознака збіжності знакопочергових рядів): нехай для знакопочергового числового ряду виконуються умови :

1)послідовність є не зростаючою,

2)границя загального члена ряду дорівнює 0,

Тоді даний ряд є збіжний.Якщо не виконується хоча б одна з умов ознаки Лейбніца, то ряд є розбіжним. Якщо знакопочерговий ряд збігається, то сума S цього ряду має той самий знак, що і перший член ряду і не перевищує його за абсолютною величиною, тобто 0<S. Якщо при обчисленні суми збіжного ряду обмежитися лише першими n членами,а решту відкинути, то похибка обчислення за абсолютною величиною не перевищуватиме першого з відкинутих членів ряду.

131. Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , складений з абсолютних величин його членів, тобто ряд. Знакозмінний ряд називають умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних величин його членів розбігається.

132. Функціональні ряди. Основні поняття.

Ряд , членами якого є функції , визначені в області D, nN, називається функціональним рядом. При певному значенні х= цей ряд стає відповідним числовим рядом .Якщо числовий ряд зб./розб., то точка називається точкою збіжності/розбіжності цього ряду, а множина всіх точок збіжності ряду називається областю збіжності цього функціонального ряду.Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на множині D, якщо довільного числа існує такий номер N=N, що для всіх n>Nі для всіх хD виконується нерівність .

133. Степеневі ряди. Теорема Абеля.

Степеневим рядом називають функціональний ряд виду , або при х=0 ряд виду , де дійсні або комплексні числа.

Теорема Абеля:Якщо ряд збігається при х=, то він збігається для всіх х, що задовольняють нерівність .

Якщо ряд розбігається при х=, то він розбігається для всіх х, що задовольняють нерівність .