106. Інтегрування тригонометричних функцій.

Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута, особливо корисні при дослідженні та моделюванні періодичних подій. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін трикутника що містить кут, або як відношення координат точок по колу, або, більш загально, як нескінченні ряди, або як розв'язок диференційного рівняння.

Інтеграли типу , , обчислюються за допомогою відомих тригонометричних формул:

,

,

.

Функцію із змінними і , над якими виконуються раціональні дії (додавання, віднімання, множення і ділення) прийнято позначати , де – знак раціональної функції.

Обчислення невизначених інтегралів типу зводиться до

обчислення інтегралів від раціональної функції підстановкою , яка називається універсальною.

107-108. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Дріб називають раціональним, якщо його чисель-ник та знаменник е багаточленами.

Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І-го та П-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування. При інтегруванні найпростішого дробу Ш-го типу треба спочат-ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну. Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дро-бу типуIII.

Будь-який правильний раціональний дріб розкла-дається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегруван-ня багаточлена Мп_т (х) (при п > т) та суми найпростіших дробів. Відмітимо, що вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника Qm(x).

109. Визначений інтеграл та його властивості.

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Властивості:

1.Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла.

2.Визначений інтеграл віл алгебраїчної суми скінченої кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі визначених інтегралів від кожного доданка.

3.Якщо змінити межі інтегрування то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний.

4.Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю.

110. Задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла.

Етап 1. Розбиття фігури на ряд вузьких смужок, паралельних осі. Площу кожної із смужок можна обчислювати наближено, замінюючи її або прямокутником, верхня основа якого проходить через точку на кривій і знаходиться не вище за криву, або трапецією , обмеженою зверху хордою , що сполучає кінці відрізку кривої . Етап 2. Сума площ усіх прямокутників або трапецоїдних смужок дасть наближене значення площ криволінійної трапеції. Очевидно, що ця площа буде обчислена тим точніше, чим меншою буде ширина кожної смужки . Етап 3. Для  точного обчислення площі криволінійної трапеції слід обчислити  границю вказаної суми, коли ширина кожної смужки  прямує до нуля . Точне значення площі криволінійної трапеції позначають символом  , який називається визначеним інтегралом у проміжку від   до  функції і вперше введений     Й.Бернуллі .