88. Частинний приріст і частинні похідні I-го порядку.

Функція z одержить приріст Δхz = f (x+ Δx,y) – f (x; y), який називають частинним приростом по змінній х.

Якщо приросту надати змінній у, то функція z одержить приріст ΔуZ = f (x+ Δx,y) – - f (x; y), який називають частинним приростом по змінній у.

Якщо існує границя lim , що не залежить від способу прямування , то її називають частинною похідною першого порядку функції : u = f ( , , ..., ) по змінній і позначають або або u´ .

89. Градієнт функції.

Вектор, який вказує напрям найшвидшого зростання функції z = f (x;y), називають градієнтом gradz = Модуль градієнта визначає швидкість зростання функції.Для функції u= f (x;y,z) градієнт знаходять за формулою:

90. Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішених похідних.

Частинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінній та і позначають:

п при , при k = m.

Теорема. Якщо функція z = f (x;y) та похідні неперервні в точці (х;у) та в деякому її околі, то в цій точці .

105. Інтегрування функцій що містять іраціональності.

При інтегруванні виразів, що містять дробові степені змінної(тобто ірраціональності) методом підстановки, зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу(раціоналізують інтеграл). Якщо підінтегральна функція є раціональним дробом відносно x^a,де а – дробове число, то в цьому випадку вводять нову змінну t=x^1/q, де q – спільний знаменник дробових показників степеня змінної х.

91-92. Похідна за напрямом вектора та градієнт функції

Якщо існує границя відношення при .то цю границю називають похідною функції u(x;y;z) в точці M(x;y;z) за напрямом вектора і позначають , тобто

. Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом . припустимо , що функція u(x;y;z) диференційована в точці M. Тоді її повний приріст в цій точці можна записати так:

де - нескінченно малі функції при .

Оскільки

то

Перейшовши до границі при ,дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом

Вектор, який вказує напрям найшвидшого зростання ф-ції z=f(x;y),називають градієнтом gradz = (ƌu/ƌx; ƌu/ƌy ). Модуль градієнта | grad u | = визначає швидкість зростання ф-ції. Для ф-ції u=(x,y,z) градієнт знаходять за ф-лою:

93.Обчислення наближеного значення в точці за допомогою повного диференціала.

Поняття диференціала тісно пов’язано з поняттям похідної і належить до основних понять матем. аналізу. Нехай функція y=f(x) диферент. в точці [a,b],тобто в цій точці має похідну

f’(x) = , тоді за властивістю границі(якщо ф-ція має границю,то її можна подати у вигляді суми цієї границі та нескінченно малої величини)отримаємо

Перший доданок лінійний відносно Δх, а другий- нескінченно мала величина.Таким чином, перший доданок,-це головна частина приросту функції і позначають dy=df’()x .

Диференціал використовують для наближених обчислень значень функції за допомогою формули: f(x0+Δx)≈f(x0)+f’(x0) Δx.