48. Властивості границь функції: границя сталої, суми, добутку, частки функцій, границя степеневої функції.

Т1 Якщо де с довільне число то .Т2 Якщо існують границі

то виконуються такі співвідношення:

1) ,2) ,3) , якщо .

Якщо існує то для довільного натурального m =

49. Розкриття невизначеностей, при застосуванні ірраціональних функцій та многочленів під час обчислення границь функцій.

У найпростіших випадкох знаходження границі зводься до підстановки у функцію f(x) граничного значення аргументу х0.Але часто така підстановка призводить до невизначених випадків.1) для того щоб розкрити невизначеність такого виде необхідно чисельник і знаменник поділити на найвищий степінь х цих многочленів 2) потрібно домножити на спряжений вираз(якщо вираз іраціональний)Множник х-х0 називають критичним множником,щоб розкрити невизначеність виду ,задану відношенням двох многочленів,потрібно чисельник і знаменник скоротити на критичний множник.3) якщо вираз іраціональний то потрібно домножити на спряжений вираз якщо ні то вираз потрібно спростити.

50. Перша і друга важливі границі та наслідки з них.

1) 2) наслідки ; ;

;

51. Неперервність функції в точці: означення Коші та означення в термінах приростів функцій та аргументу. Застосування поняття неперервності при обчисленні границь функцій.

у = fx) називається неперервною в точ­ці х₀ функцією, якщо =f(x0)тобто виконуються 2 умови 1) f(x) визначена в точці х0(існує f(x))2)границя з ліва = границі з права і = значенню функції в цій точці .

52. Властивості функцій, неперервних у точці. Теорема про неперервність елементарних функцій.

Якщо функції у = f(x) i y = g(x) — неперервні в точці х0. Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:1) f(x)  g(x); 2) f(x) g(x); 3) f(x) / g(x), g(x)  0.

Якщо функція у = f(x) неперервна в точці х₀ а функція u = F(y) неперервна в точці у0=f(x₀), то їх композиція u = F(f(x)) — неперервна в точці х₀.

Функція у = f(x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.

Т.Усі елементарні функції є неперервними на інтервалах їх визначення.

53. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Геометрична інтерпретація цих властивостей.

1)Якщо функція y=f(x)неперервна на відрізку [a;b]то вона обмежена на цьому відрізку,тобто існують такі числа А і В (А<В), що для всіх х [a;b],виконується нерівність А f(x) B.2)Якщо функція y=f(x)неперервна на відрізку [a;b]то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого m і найбільшого М.3) Якщо функція y=f(x)неперервна на відрізку [a;b] і знаходиться на кінцях відрізка f(а) та f(b) мають протилежні знаки, то в середині відрізка[a;b] існує хочаб одна така точка ,що тобто крива y=f(x) перетинає вісь Ох хоча б в одній точці.

54. Точки розриву функції: першого роду, другого роду й точки усувного розриву. Геометрична інтерпретація порушення умов неперервності функцій у цих точках. Точка х0 називається точкою розриву функції y=f(x), якщо в даній точці функція є неперервною. Точка х0 називається точкою розриву першого роду,якщо в цій точці існують обидві односторонні границі,але вони різні,тобто . Точка х0 називається точкою розриву другого роду,якщо в цій точці не існує або дорівнює нескінченності хоча б одна з односторонніх границь. Точка х0 називається точкою усувного розриву функції y=f(x) ,якщо в цій точці існують обидві односторонні границі,вони рівні між собою,але не дорівнюють значенню функції в точці х0,або функція в цій точці не існує,тобто _енту