1. Матриці, основні поняття. Різновиди матриць.
Прямокутна таблиця чисел Аij,де і=1,2…m,та j=1,2… n,яка складається з m рядків та n стовпців називається матрицею. Якщо m=n ,то матриця називається квадратною.Кількість рядків квадратної матриці називається її порядком.Матриця,в якої лише один рядок називається матрицею-рядком,а матриця ,в якої лише один стовпець-матрицею-стовпцем.Матриця ,в якої всі елементи дорівнюють 0,називається нульовою.Уквадратних матрицях виділяють головну та побічну діагоналі .Квадратна матриця називається діагональною ,якщо всі її елементи ,крім елементів головної діагоналі,дорівнюють 0.Діагональна матриця називається скалярною,якщо всі елементи гголовної діагоналі рівні між собою. Матриця А називається узгодженою матриці В,якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.
2. Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями.
Сумою двох матриць Аm*n=(aij) i Bm*n=(bij) однакових розмірів називається матриця Cm*n=( aij+ bij).Для дії додавання є такі властивості:
А+В=В+А-комутативність додавання
(А+В)+С=А+(В+С)-асоціативність додавання
А+О=А
Добутком матриці Аm*n=(aij) на матрицю Bm*n=(bij) називається така матриця Cm*n=cij,у якої елементи cij дорівнюють сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j – стовпця матриці В.
Множення двох матриць означається лише для узгоджених матриць.Матриця А називається узгодженою матриці В,якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.
Властивості:
1.А*0=0,0*А=0
2.(АВ)С=А(ВС)-асоціативність множення
3.(А+В)С=АС+ВС
4.АЕ=А,ЕА=А
Добутком матриці Аm*n=(aij)на числа k називається матриця (kaij)тієї самої розмірності.
3.Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників.
Квадратній
матриці А n-ого
порядку можна поставити у відповідність
число det
A
(або
,
або
),
яке називають визначником цієї матриці.
1.При
n
= 1 А=(
),
det
A
=
2.При
n
= 2 А = (
),
det
A=
=
-
Визначник матриці А також назив. її детермінантом.
При
обчисленні визначників третього порядку
зручно користуватися правилом трикутника
. За іншою схемою дописуються два перших
стовпчики до матриці А. У результаті
отримують прямокутну матрицю розміром
3
5.
Тоді додатні та від’ємні доданки беруть
за схемою:
Квадратній матриці А n-го порядку можна поставити у відповідність число detА,яке називається визначником цієї матриці.При обчисленні визначників третього порядку зручно користуватися правилом трикутника .Для обчислення визначника 2-го порядку потрібно від добутку елементів,що стоять на головній діагоналі ,відняти добуток елементів ,що стоять на побіжній діагоналі.Також використовується метод Саррюса:дописується 2 перших стовпчиків до матриці А,тоді додані та від’ємні доданки беруться за схемою. і зведенням до трикутного виду і Лапласа.
4. . Визначник n-ого порядку. Теорема Лапласа.
Матрицю А n-ого порядку можна поставити у відповідність число det A (або , або ), яке називають визначником цієї матриці.
1.При n = 1 А=( ), det A =
2.При n = 2 А = ( ), det A= = -
Визначник матриці А також назив. її детермінантом.
Теорема
Лапласа. Визначник
n-ого
порядку дорівнює сумі добутків елементів
будь-якого рядка чи стовпця на їх
алгебраїчні доповнення:
Квадратній матриці А n-го порядку можна поставити у відповідність число detА,яке називається визначником цієї матриці. Правило Лапласа:Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця )помноженні на відповідні алгебраїчні доповнення. Алгебраїчні доповнення Аij елемента aij
називають мінор цього елемента ,взятий із знаком «плюс»,якщо сума номерів рядка і стовпчика –число парне ,та зі знаком «мінус»,якщо непарне.Мінором Мij елемента aij визначника n-го порядку називається визначник ( n-1)-го порядку,який одержимо з даного визначника шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця,на пнрнтині яких знаходиться елемент aij.