Показать вид матрицы вращения в однородных координатах?
Матрица вращения
Показать вид матрицы растяжения-сжатия и отражения вокруг оси Оу в однородных координатах?
Матрица растяжения (сжатия)
Матрица отражения
Показать вид матрицы переноса в однородных координатах?
Матрица переноса
Выписать в матричном виде преобразование для поворота вокруг произвольной точки на угол и указать, что означает каждая из матриц?
Для сложных отображений построение матрицы совершают поэтапно, причем в столько этапов, сколько требуется преобразований. Например, если требуется построить матрицу поворота вокруг точки A(a, b) на угол нужно построить
- матрицу переноса центра вращения в начала координат на вектор –A(-a, -b)
- матрицу поворота на угол
- перенос на вектор A(a, b) для возвращения центра поворота в исходную точку
Теперь перемножим
матрицы
.
В результате получим, что матрица
требуемого преобразования имеет вид:
Выписать вид матриц для вращения в пространстве?
Пространственные преобразования описываются с помощью следующих матриц:
А. Матрицы вращения в пространстве.
Матрица вращения вокруг оси x
Матрица вращения вокруг оси y
Матрица вращения вокруг оси z
Б. Матрица растяжения (сжатия)
здесь > 0 – коэффициент растяжения по оси абсцисс; > 0 – по оси ординат и > 0 – по оси аппликат.
В. Матрицы отражения.
Матрица отражения относительно плоскости xOy
Матрица отражения относительно плоскости yOz
Матрица отражения относительно плоскости zOx
Г. Матрица переноса
здесь (, , ) – вектор переноса.
Указать, в чем состоит смысл проектирования?
Когда мы берем в руки карандаш, кладем перед собой лист бумаги и пытаемся нарисовать зимний пейзаж за окном, то меньше всего задумываемся над тем, что пейзаж трехмерен в своей реальности, а лист бумаги плоский, двумерный. Таким образом, рисуя, мы каждый раз решаем задачу проективного преобразования, выполняя (в подсознании) операцию проектирования. Ту двумерную поверхность, на которой будет создаваться изображение назовем картинной плоскостью.
Смысл любого проектирования состоит в том, что изображение на картинной плоскости строится подобно тому, как на стене появляется тень некоторого объекта, освещенного лампой. Через каждую точку объекта проводится прямая (луч света), а затем, если в этом месте объект прозрачен, строится точка пересечения этого луча с картинной плоскостью (рис.20.). Говоря же языком проективной геометрии, проектирование преобразует точки, заданные в n-мерной системе координат, в точки системы координат размерности меньшей, чем n. Ну а все черчение оперирует с преобразованиями координат из 3-мерной в 2-мерную систему координат.
Рис. 20. Проекция на плоскость.
Существует достаточно много видов проектирования, но мы будем рассматривать проектирование, когда лучи, которыми “освещается” предмет прямые. В этом случае говорят также о пучках прямых, различая при этом пучки прямых, параллельных заданному направлению (рис. 21а) и пучки, исходящие из одной точки (рис. 21б).
Для получения проекции объекта на картинную плоскость необходимо провести через каждую его точку прямую из заданного проектирующего пучка (собственного или несобственного) и затем найти координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью изображения. В случае центрального проектирования все прямые исходят из одной точки - центра собственного пучка. При параллельном проектировании центр (несобственного) пучка считается лежащим в бесконечности (рис. 21).
Рис 21