Записать в общем виде выражение аффинного преобразование координат?
Как правило все события на плоскости (подразумевается - геометрические преобразования объектов) описываются в декартовой системе координат, хотя в отдельных случаях удобней пользоваться полярной системой. Предположим, что на плоскости мы ввели прямоугольную линейную систему координат. Тогда каждой точке M ставится в соответсвие упорядоченная пара чисел (x,y). Вводя на плоскости еще одну систему координат, той же точке ставится в соответствие другая пара чисел (x*,y*).
Переход от одной прямолинейной системы координат на пллоскости к другой описывается следующими соотношениями:
x* = x + y +
y* = x + y + ,
где , , , , , - произвольные числа, но
Формулы можно рассматривать двояко:
а) сохраняется точка и изменяется координатная система - произвольная точка M остается той же, изменяются лишь ее координаты (x,y)(x*,y*);
b) изменяется точка, но сохраняется координатная система.
Какие преобразования включают аффинные?
Теперь преобразование можно представить в однородных координатах в матричной форме в виде:
,
а для случаев А – Г будут иметь вид:
А. Матрица вращения
Б. Матрица растяжения (сжатия)
В. Матрица отражения
Г. Матрица переноса
Записать в общем виде выражение для поворота угла ?
А. Поворот вокруг начальной точки на угол описывается
формулами:
x* = xcos() - ysin()
y* = xsin()+ ycos().
Б. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей задается как:
x* = x
y* = y,
> 0, > 0
Растяжение (сжатие) вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии, что > 1 ( < 1 соответственно).
В. Отражение (относительно оси абсцисс):
x* = x
y* = -y,
Г. Пусть вектор
переноса
имеет
координаты
и .
Перенос обеспечивается соотношением:
x* = x +
y* = y + ,
Итак, любое отображение вида (*) можно описать при помощи отображений, задаваемых формулами А - Г.
Записать в матричном виде аффинные преобразования?
Для эффективного использования этих формул в задачах компьютерной графики обычно используется матричная запись. Матрицы, соответствующие случаям А – В имеют следующий вид:
Что такое однородные координаты?
Для понимания дальнейшего введем понятие однородных координат произвольной точки. Пусть M – произвольная точка плоскости с координатами x и y. Однородными координатами точки называется тройка одновременно неравных нулю чисел x1, x2, x3, если выполнены соотношения:
.
В компьютерной графике однородные координаты вводятся следующим образом. Точке M(x, y) ставится в соответствие точка M’(x, y, 1) в пространстве. Тогда произвольная точка на прямой соединяющей точку O(0, 0, 0) с точкой M’(x, y, 1) может быть задана тройкой (hx, hy, h) (саму точку O можно исключить из рассмотрения), с h 0. Вектор, определяемый тройкой (hx, hy, h) является направляющим вектором прямой OM’. Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (x, y, 1), которая однозначно определяет точку (x, y) в плоскости xOy. Тем самым между точкой (x, y) и тройками (hx, hy, h) устанавливается взаимно-однозначное соответствие, которое позволяет считать числа hx, hy, h координатами этой точки.
Однородные координаты оказываются весьма удобны при решении целого ряда задач компьютерной графики. К таким задачам в частности относятся задачи изменения масштаба.
Предположим, что устройство отображения работает только с целыми числами. Тогда для произвольного h (например, h = 1) точку с координатами (0.5; 0.1; 2.5) представить с помощью такого устройства нельзя! Но вводя h = 10 для рассматриваемого примера имеем (5; 1; 25).