1. а) Перевести в десятичную систему счисления следующее двоичное число: 100110011001.

Решение. Пронумеруем разряды числа справа налево, начиная с нулевого. Вычислим сумму произведений степеней основания системы счисления и цифр числа. Получим:

100110011001^2 = 1·2^0 + 0·2^1 + 0·2^2 + 1·2^3 + 1·2^4 + 0·2^5 + 0·2^6 + 1·2^7 + 1·2^8 + 0·2^9 + 0·2^10 + 1·2^11 = 2457^10

б) Перевести десятичное число A в g-е системы счисления.

A = 7812, g = 16; 3

Перевод в 16-ю систему счисления

Ход решения:

Делим число на 16 и выписываем остатки

7812 = 488·16 + 4

488 = 30·16 + 8

30 = 1·16 + 14 (14 записывается как E)

Последний множитель перед 16 равный 1 записываем первым.

Затем записываем найденные остатки в обратном порядке.

Получаем: 1E84

Перевод в 3-ю систему счисления

Целая часть числа находится делением на основание новой:

7812 3

-7812 2604 3

0 - 2604 868 3

0 -867 289 3

1 -288 96 3

1 -96 32 3

0 -30 10 3

2 -9 3 3

1 -3

0

1

7812^10 = 101201100^3

в) Перевести десятичные числа 0,9022; –0,1633 в двоичные с точностью до 10–8. Для полученных двоичных чисел записать прямой, обратный и дополнительный коды.

Переведём данные числа в двоичные системы:

• 0,9022

Дробная часть числа находится умножением на основание новой

0 .	.9022 2
1	8044 2
1	6088 2
1	2176 2
0	4352 2
0	8704 2
1	7408 2
1	4816 2
0	9632 2

Требуемая точность достигнута.

0,9022^10 = 0,11100110^2

• –0,1633

Дробная часть числа находится умножением на основание новой

0 .	.1633 2
0	3266 2
0	6532 2
1	3064 2
0	6128 2
1	2256 2
0	4512 2
0	9024 2
1	8048 2

Требуемая точность достигнута.

-0.1633^10 = -0.00101001^2

2. а) Перевести двоичное число A в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. A = 110000100,10000

Перевод в 8-ю систему счисления

Переводим целую часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 3 разряда.

110000100^2 = 110 000 100^2

Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.

Получаем число:

110 000 100^2 = 604^8

Переводим дробную часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 3 разряда.

10000^2 = 100 000^2

Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.

Получаем число:

100 000^2 = 40^8

Перевод в 16-ю систему счисления

Переводим целую часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.

110000100^2 = 0001 1000 0100^2

Затем заменяем каждую группу на код из таблицы перевода чисел.

Получаем число:

0001 1000 0100^2 = 184^16

Переводим дробную часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.

10000^2 = 1000 0000^2

Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.

Получаем число:

1000 0000^2 = 80^16

б) Перевести к-ичное число Ак в g-ичную систему счисления. Ак = 7B8A0^12, g = 7

Для этого переведем его сначала в десятичную вот так :

7B8A0^12 = 7∙12^4 + B∙12^3 + 8∙12^2 + A∙12^1 + 0∙12^0 = 165432^10

Получилось: 165432^10

Переведем 165432^10 в 7-ричную систему вот так:

Целая часть числа находится делением на основание новой:

165432 7

-165431 23633 7

-23632 3376 7

1 -3374 482 7

1 -476 68 7

2 -63 9 7

6 -7

5

2

1

Ответ: 1256211^7

3. Вычислить, записав результат в g-ичной системе счисления.

а) 26B95^15 : 111^15, g = 15

Переведём оба числа в десятичную систему:

26B95^15 = 2∙15^4 + 6∙15^3 + B∙15^2 + 9∙15^1 + 5∙15^0 = 124115^10

111^15 = 1∙15^2 + 1∙15^1 + 1∙15^0 = 241^10

Разделим оба числа в десятичной системе:

124115^10 / 241^10 = 515 ^ 10

Переведём полученное число в 15-ую систему:

515

-510 15

34 15

5 -30

4

2

Ответ: 245 ^ 15

б) (2306^7 – 127^12) * 45^6, g = 3

Переведём все три числа в десятичную систему:

2306^7 = 2∙7^3 + 3∙7^2 + 0∙7^1 + 6∙7^0 = 839^10

127^12 = 1∙12^2 + 2∙12^1 + 7∙12^0 = 175^10

45^6 = 4∙6^1 + 5∙6^0 = 29^10

Вычислим в десятичной системе:

(839 – 175) * 29 = 19256^10

Переведём результат в троичную систему:

19256 3

-19254 6418 3

-6417 2139 3

2 -2139 713 3

1 -711 237 3

0 -237 79 3

2 -78 26 3

0 -24 8 3

1 -6

2

2

2

Ответ: 222102012 ^ 3

в) 100110^2 * 1D^16 + 12023^8, g = 16

Переведём все три числа в десятичную систему:

100110^2 = 1∙2^5 + 0∙2^4 + 0∙2^3 + 1∙2^2 + 1∙2^1 + 0∙2^0 = 38^10

1D^16 = 1∙16^1 + D∙16^0 = 29^10

12023^8 = 1∙8^4 + 2∙8^3 + 0∙8^2 + 2∙8^1 + 3∙8^0 = 5139^10

Вычислим в десятичной системе:

38^10 * 29^10 + 5139^10 = 1102 + 5139 = 6241 ^ 10

Переведём результат в шестнадцатиричную систему:

6241

-6240 16

390 16

1. -384 24

-16

6 16

8

1

Ответ: 1861 ^ 16

4. Найти сумму чисел А1 и А2 по правилу сложения чисел с плавающей точкой.

А1 = 54,9924; А2 = 742,91

Решение. Сложение чисел с плавающей точкой выполняется в соответствии со следующим алгоритмом:

1. Представить числа А1 и А2 в нормализованном виде, записав отдельно значения мантисс и порядков.

2. Уравнять порядки по числу с большим порядком.

3. Уравнять число цифр в мантиссе по числу, порядок которого не изменился.

4. Сложить числа.

5. Нормализовать сумму, оставив число цифр в мантиссе таким, как у числа, порядок которого не изменялся.

Шаг	Число	Нормализованное число	Порядок	Мантисса	Число цифр в мантиссе
1	А1 = 54,9924	0,549924 * 10^2	p1 = 2	549924	6
	A2 = 742,91	0,74291 * 10^3	p2 = 3	74291	5
2	A1	0,0549924 * 10^3	3	0549924	7
3		0,05499 * 10^3		05499	5
4	A1 + A2	0,7979 * 10^3	3	7979	4
5		0,7979 * 10^3	3	7979	4

Ответ: 0,7979 * 10^3

5. Измерьте объем следующего информационного сообщения в битах, байтах, килобайтах и мегабайтах:

Я только тот люблю цветок, который врос корнями в землю!..

Решение. При кодировании символьной информации в кодах КОИ-8 каждый символ, включая пробелы и знаки препинания, кодируется 1 байтом или 8 битами. Подсчитаем общее число символов в сообщении. Для этого запишем каждый символ в отдельную пронумерованную клетку:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
я		т	о	л	ь	к	о		т

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
о	т		л	ю	б	л	ю		ц

21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
в	е	т	о	к	,		к	о	т

31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
о	р	ы	й		в	р	о	с

41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
к	о	р	н	я	м	и		в

51	52	53	54	55	56	57	58
з	е	м	л	ю	!	.	.

Всего в сообщении 58 символов. Следовательно, информационный объем данного сообщения составляет:

58 байт (58 × 1 байт = 58 байт);

464 бита (58 × 8 бит = 464 бита);

примерно 0,056 Кбайт (58 байт × 1 Кбайт / 1024 байт ≈ 0,056 Кбайт);

примерно 5,4⋅ 10–5 Мбайт (0,056 Кбайт × 1 Мбайт / 1024 Кбайт ≈ 0,000054 Мбайт).

Ответ: информационный объем данного сообщения составляет 58 байт; 464 бита; 0,056 Кбайт; 5,4 ⋅10–5 Мбайт.

6. Имеется следующий текст: Рентабельность является одним из центральных понятий экономики. Показателем рентабельности, или рентабельностью, называют отношение прибыли фирмы за некоторый промежуток времени к себестоимости за этот же период. Изменение показателя рентабельности характеризует динамику развития производства, прибыльность или убыточность хозяйственной деятельности фирм, отраслей и т.д. До недавнего времени уровень рентабельности играл важнейшую роль при определении налога с прибыли предприятия или фирмы, потому что ставка налога на прибыль существенно зависела от рентабельности. В 1991 – 1993 гг. в России был установлен предельный уровень рентабельности в 50 %. В настоящее время в субъектах Российской Федерации действует иная схема расчета налога на прибыль. Найти количество информации, которую переносят следующие буквы (с точностью до тысячных): й; л.

Решение.

Текст содержит примерно 632 буквы, то есть N = 632 . Буква «й» в тексте встречается 7 раз, то есть n1 = 7 . Буква «л» в тесте встречается 31 раз, то есть n2 = 31 . Поделив (N) на (n1; n2) , мы получим величины pi1 = 90,28 ; pi2 = 20,39 , которые представляют собой средние значения частоты (pi), с которыми в рассматриваемом тексте встречаются буквы «й» и «л». Найдем количество информации hi, которое переносит одна буква в рассматриваемом тексте, для чего вычислим двоичный логарифм от величины pi1; pi2 :

hi = - log^2 * pi = - log2 * … = - ln … / ln2 =

hi1 = - log^2 * 90,28 = - log2 * 90,28 = - ln90,28 / ln2 = 4.502 / 0.69 = 6,52

hi2 = -log^2 * 20,39 = - log2 * 20,39 = - ln20,39 / ln2 = 3.01 / 0.69 = 4,36

Ответ: количество информации, которое переносит буква «й», равно 6,52 бит; количество информации, которое переносит буква «л», равно 4,36 бит.