1. Вычисление линейной сложности последовательностей четвертого порядка

Пусть последовательность четвертого порядка, то есть , тогда, согласно лемме 1.1, она формируется по правилу:

(2.1)

Заметим, что правило (2.1) задает последовательность только тогда, когда . Здесь откажемся от этого предположения и рассмотрим общий случай. Таким образом, по теореме 1.1, имеем

. (2.2)

Как и в [7] из формулы (2.2) получаем следующее утверждение.

Лемма 2.1. Если последовательность определена по правилу (2.1), тогда для имеем

Следствие 2.1. Значение многочлена последовательности постоянно, когда принадлежит обобщенным циклотомическим классам , множествам .Пусть , когда .

Воспользовавшись формулой (1.7) из леммы 2.1 получаем, что

, (2.3)

где и

Прежде чем приступить к вычислению , введем несколько обозначений. Пусть, далее, и . Определим матрицу четвертого порядка следующим образом: (*- транспонирование матрицы).

Лемма 2.2.Если , то или

(2.4)

Данная формула следует непосредственно из леммы 2.1.

Таким образом, фактически, для расчета линейной сложности циклотомических последовательностей достаточно рассчитать матрицу для этого случая. В [9] были найдены значения для и частично для . В частности, если , то всегда справедливо разложение , - целые числа и , посредством которого и находятся значения . Согласно [9] имеют место следующие соотношение:

1. или , если , то есть и , где - дискретный логарифм 2 по основанию по модулю ;

2. , где – корень уравнения , если , то есть и ;

3. или , если , то есть и ;

4. , если , то есть и ;

5. или , если , где - корень пятнадцатой степени из единицы в расширении поля , при этом он удовлетворяют уравнению . В первом варианте , а во втором . Отметим, что будет корнем 3 из единицы, поэтому можно считать без нарушения общности, что .

Далее, так как справедливо разложение , то для возможны два варианта:

1. - корень первого множителя, тогда является корнем пятой степени из единицы;

2. -корень второго множителя, тогда он первообразный корень пятнадцатой степени из 1.

Для удобства вычислений обозначим через именно корень пятнадцатой степени из единицы и, в первом случае заменим ς на . Таким образом, мы имеем 4 варианта:

5a. , здесь ;

₅b. , здесь ;

5c. , здесь ;

5d. , здесь .

При этом выполняются соотношения: , , и так далее.

Формулы для аналогичны.

Сразу же заметим, что в первых четырех вариантах , то есть , а в пятом , тогда . Аналогично, если для q имеет место один из первых четырех вариантов, то , а в пятом - .

Приведем несколько значений простых чисел, удовлетворяющих условиям каждого из вариантов:

1. 13, 353,593;

2. 17, 929;

3. 73, 89, 233;

4. 41, 313, 761;

5. 5,13, 61;

5a) 13, 29,61;

5b) 397,1069;

5c) 5, 37, 53;

5d) 277, 1093.

Введем дополнительно следующие обозначения. Пусть , и .

Для получения быстрых и точных расчетов простых чисел была использована следующая программа:

Рисунок 1.Пример расчета простых чисел для _.

_Рисунок 2. Пример расчета простых чисел для _.

Для получения значений была использована программа Mathcad. С помощью неё были рассчитаны матрицы H:

Рисунок 3. Пример расчета матрицы Н в программе Mathcad.

Лемма 2.3. Если последовательность X задана правилом (2.1) и , ,то и .

Доказательство. Согласно приложению , а по условию леммы и , тогда согласно формуле (2.3) , а по формуле .

Таблица 1 — Численные примеры для леммы 2.3.

p	Q	N	L	p	Q	N	L
17	13	221	220	17	29	493	492
41	13	533	532	41	29	1189	1188
73	61	4453	4452	73	13	949	948
89	61	5429	5428	89	29	2581	2580

Лемма 2.4. Если последовательность X задана правилом (2.1) и то и .

Доказательство. Согласно приложению , а по условию леммы и , тогда согласно формуле (2.3) и .

Таблица 2 — Численные примеры для леммы 2.4.

p	Q	N	L	p	q	N	L
5	17	85	64	5	41	205	160
13	17	221	192	13	73	949	864
29	73	2117	2016	29	17	493	448
61	41	2501	2400	61	17	1037	960

Аналогично предыдущим леммам получаются следующие утверждения:

Лемма 2.5. Если последовательность X задана правилом (2.1), то:

1) для и ;

2) для и ;

3) для и ;

4) для и ;

_{Таблица} 3 — Численные примеры для леммы 2.5.

Вариант	p	q	N	L
1	17	73	1241	1224
	113	41	2993	1512
2	113	353	39889	29920
	17	929	12064	15793
	73	89	4840	6497
	41	313	12833	9672
3	17	113	1921	1008
	41	73	2993	1512
	41	89	3649	1848
	17	353	6001	3168
4	73	113	8249	2128
	17	41	697	200
	313	17	5321	1264
	89	113	10057	2576

Лемма 2.6. Если последовательность X задана правилом (2.1), то:

1). Если , то , если (A) и (B), если ;

2). Если , то (C), если и (D), если .

_Таблица 3 — Численные примеры для леммы 2.6.

Вариант	p	q	N	L
A	13	5	65	48
	397	277	109969	82368
B	13	29	377	96
	397	1069	424393	106128
	5	37	185	40
	277	1093	302761	75624
C	13	277	3601	1668
	397	5	1985	1188
D	13	397	5161	4764
	5	277	1385	1108

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Линейная сложность последовательности является важной характеристикой её качества. Последовательности, обладающие высокой линейной сложностью, важны для криптографических приложений.

В выпускной квалификационной работе исследована линейная сложность обощенных циклотомических последовательностей четвертого порядка с периодом . Определено, при каких значениях параметров они обладают высокой линейной сложностью.