1.3 Обобщенные циклотомические классы по модулю
Пусть
– простое число, где
–
натуральные числа. Обозначим через
–
класс вычетов степени
по
модулю
,
то есть
,
здесь
– первообразный корень по модулю
[1],
.
Положим
,
где 
(все действия выполняются по модулю
),
тогда
и порядок
.
Согласно [2],
-
являются циклотомическими классами и
.
(1.3.1)
Пусть
– простое число, где
– натуральные числа и
,
,
где
– первообразный корень по модулю
,
тогда порядок
и
-
циклотомические классы. Как и ранее
. (1.3.2)
Обозначим
через
–
наименьший неотрицательный вычет целого
числа 
по модулю 
.
Рассмотрим классы
вычетов по модулю N,
построенные следующим образом:
,
.
Следовательно, каждый класс
содержит
чисел и, если
,
то пересечение
с
пусто [1]. Из определения следует, что
является подгруппой мультипликативной
группы
.
Согласно китайской
теореме об остатках, кольцо классов
вычетов 
изоморфно прямому произведению
.
Пусть
-
соответствующий изоморфизм, то есть
,
тогда
при
,
и, если
,
то
.
Таким образом,
являются циклотомическими классами и
.
(1.3.3)
Добавим еще три
вида классов вычетов:
,
,
тогда порядок
при
и
при
.
Соответственно,
при
и
,
при
и
.
Из формул (1.3.1,1.2.,1.3.3) имеем
.
(1.3.4)
Отметим, что
согласно определению
,
.
Также, далее, для удобства записи будем
отождествлять изоморфные множества
и
.
Рассмотрим
примеры разбиения на классы вычетов
для различных значений
.
Пример 1.
Пусть
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
.
В [7] было показано, что имеет место следующее утверждение.
Лемма 1.1.
Если
и
,
то справедливо равенство:
,
.
(1.3.5)
Пример 4.
Пусть, как и в примере 3 , , , , тогда
,
.
После вычислений, получаем:
,
,
,
.
Таким образом, для
расчета линейной сложности
последовательностей можно использовать
метод, предложенный в [7]. Он заключается
в вычислении значений многочлена на
представителях классов
.
Напомним, кратко его основные положения.
1.4 ЦИКЛОТОМИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И ЛИНЕЙНАЯ СЛОЖНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, СФОРМИРОВАННЫХ НА ОСНОВЕ КЛАССОВ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ
Определение.
Последовательность
удовлетворяющая соотношению
(1.4.1)
для
всех
,
из
называется линейной рекуррентной
последовательностью.
Наименьшее
значение
,
для которого выполняется соотношение
(1.4.1) называется линейной сложностью
(эквивалентной линейной сложностью,
рангом) последовательности над полем
.
Линейные рекуррентные последовательности можно получить с помощью регистра сдвига с обратной связью. Поэтому, линейную сложность последовательности также определяют как длину самого короткого линейного регистра сдвига с обратными связями, который может воспроизвести последовательность.
Многочлен
– называют минимальным или характеристическим
многочленом последовательности
.
В этом подразделе рассмотрим метод расчета линейной сложности двоичных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов, основанный на применении циклотомических чисел. Известные методы расчета линейной сложности ДКП, сформированных на основе классов степенных вычетов, тесно связаны с применяемым правилом кодирования.
Как и ранее, пусть
ДП X
с периодом
сформирована по обобщенному ПК:
(1.4.2)
Согласно
,
(1.4.3)
где
,
более того:
.
(1.4.4)
Если рассмотреть
разложение многочлена
на неприводимые множители над
,
то всегда можно построить конечное
поле, которое содержит все его корни.
Такое поле называется полем разложения
многочлена
.
Пример 1. Пусть
,
тогда, несложно убедиться, что
и
многочлены
,
- неприводимы над
.
В этом случае, элементы мультипликативной
группы конечного поля
,
построенного по многочлену
или
будут корнями 7 степени из единицы.
Пусть
– примитивный корень степени
из единицы в поле разложения
многочлена
над
.
Тогда, согласно формуле (1.4.4), для ДП
(БП):
.
(1.4.5)
Таким образом,
вычисление линейной сложности
последовательности
сводится к
вычислению корней многочлена
в множестве:
.
Введем дополнительный
многочлен
.
Следующая лемма
описывает свойства многочлена
,
она доказана в [20].
Лемма 1.2.
Если
,
то в поле
справедливы следующие соотношения:
1)
для
.
2)
для любого
целого числа
.
3) Если
,
то
.
Пример 1.
Пусть
,
,
,
тогда
,
.
По определению
,
далее
,
следовательно,
.
Отметим ещё одно
свойство многочлена
.
Из равенства
следует, что в поле
сумма
,
т. е.
и, по лемме 1.4.1 имеем
.
(1.4.6)
Например, если
,
то
или
.
Тогда
,
и
.
Далее, не нарушая
общности, можно считать, что
.
В противном случае, выбираем другой
первообразный корень из единицы.
По определению
последовательности получаем, что
,
тогда
или, по лемме 1.2 ,
,
если
.
Таким образом, для нахождения корней
многочлена
достаточно определить значения
,
.
Более того, значения
,
если
и из (4.6.4) получаем, что линейная сложность
ДП
равна
.
(1.4.7)
Теорема 1.1.
Если
,
то
где
Теорема 1.1. определяет
систему уравнений для неизвестных
с использованием таблицы циклотомических
чисел порядка
.
Её решение позволяет определить значения
Последнее, согласно соотношению (1.4.7),
делает возможным расчет линейной
сложности рассматриваемых ДП.
1.5 МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ЦИКЛОТОМИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Линейная
составляющая последовательности
с периодом
по конечной области
,
где
является простым числом, определяется
как минимальное положительное целое
число
,
для которого существуют константы
такой, что
for
all
[1].
Полином-многочлен
называется минимальным из последовательности
в
котором
следует [1]
(1.5.1)
где
является полином-многочленом
последовательности. Тогда по (1) мы имеем
(1.5.2)
Пусть
простое,
единственный корень в области
полином-многочлена
в областий
и
.
Из (1.5.2) из этого следует
(1.5.3)
Таким
образом, проблема о вычислении линейной
сложности последовательности
уменьшен до определенного значения
в области
.
Те же самые условия позволяют вычислять
минимальный полином-многочлен
последовательности, согласно (1.5.1), мы
имеем
(1.5.4)
В
этом разделе мы исследуем метод вычисления
для циклотомических последовательностей
периодом.
Пусть
нечетное, где
являются натуральными числами,
является простым модулем корня
и
,
являются циклотомическими классами
значений
[9].
Давайте рассматривать последовательность с периодом , построенный следующим способом:
(1.5.5)
где
- предопределенные числа в области
.
Давайте предполагать значения
,
если переменная не предусмотрена.
Тогда,
мы вводим вспомогательный полином-многочлен
.
Следующая
лемма - простое обобщение утверждений,
доказанных в [3,4] для
и
.
Лемма
1.3.
Если
,
тогда
;
если
f
,
тогда
.
От леммы 1.3 мы периходим
(1.5.6)
Таким
образом, чтобы вычислить значения
достаточно найти
.Что
позволит нам ввести примечание
.
Метод вычисления
составляет основное содержание раздела.
Сначала,
мы отмечаем
,
поэтому по лемме 1.3, мы имеем
(1.5.7)
В частности одна из лемм вспомогательного полином-многочлена всегда отличается от ноля. Не нарушая заурядность мы можем предположить, что .
Мы
напоминаем что циклотомическое число
порядка
является множеством решений соответствия
[10]. Следующая лемма вытекает из
определения циклотомических чисел.
Лемма
1.4.
Если
тогда
число решений соответствия
когда
равняется
.
Тогда докажемм основную теорему раздела.
Теорема
1.2.
Для
мы имеем
где
Докозательство.
По определению
и
,
Поэтому
.
If
,
тогда
является простым корнем, из числа
так как
,
и
или
.
По лемме 2, за каждое значение
число пар
,
будучи решениями последнего соответствия,
совпадает с циклотомическим числом
.
так, что
где
является множеством решений:
.
По этому
,
тогда
как в теореме, которая была доказана.
вычислить линейную сложность последовательности, в зависимости от модуля отстатка и его представления в форме суммы площадей чисел целого числа. Следствия следующих разделов подтвердят последнее утверждение.
1.6 О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ДВОЙНЫХ И ТРОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ПОСТОЯННЫХ НА ВТОРЫХ-ВОСЬМЫХ ПОРЯДКОВ ЦИКЛОТОМИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
В
этом разделе мы иллюстрируем изложенные
выше методы с примерами вычисления
линейной сложности двойных и троичных
последовательностей по областям
где
.
1.6.1.
Пусть
и
.
Используем теоремму 1 когда
,
тогда
(1.6.1)
где
,
если
является нечетным и нулевым. По формуле
(7) мы имеем
(1.6.2)
Циклотомические
числа второго порядка зависящие от
,
если
четно, тогда
,
и если
является нечетным, тогда
.
Поэтому, по (1.6.1) и (1.6.2) формуле мы получаем,
что
Следовательно,
и
являются корнями полином-многочлена
.
Принятие во внимание предположения
,
мы получаем
тогда и только тогла
в области
.
если
,
тогда
для
или
,
поэтому:
1).
,
если
или
;
2).
,
где является корнем уравнения
,
если
или
.
В
случае, если
,
тогда
для
или
,
так:
1).
,
если
или
;
2).
,
где
- корень уравнения
,
если
или
.
1.6.2.
Пусть
,
и
.
Циклотомические числа третьего порядка
сформированы разложением
,
где
являются целыми числами [10]. В частности
мы имеем
Если
и
четно, тогда модуль остатков два из
перечисленных циклотомических чисел
равняется нолю, исключая
.
По теореме 1.3 и формуле (1.5.7), мы получаем
следующий набор уравнения для неизвестного
,
и
:
(1.6.3)
По
формуле (1.6.3) , мы получаем
,
если
.
В
случае, если
,
тогда
для
.
Тогда
,
где
- корень уравнения
.
Полученные
значения
позволяют вычислять линейную сложность
последовательностей, например если
,
то есть, (1.5.6),
является характерной последовательностью
,
где
для
и
когда
.
В
случае, если
,
и
is
even,
тогда
и
.
В таких остатках выбора циклотомических
чисел третьего порядка, вычислены
формулами:
Тогда, для теореме 1.2 и формуле (1.5.7) мы получаем следующую систему уравнений:
(1.6.4)
Исследование
(1.6.4), и также подобронного к нему значения
,
зависящие от остатков
,
и значений
мы получаем следующие решения:
1).
(до перестановки), если
,
или
,
;
2).
,
,
если
,
или
,
;
3).
,
если
,
или
,
;
4).
,
где
являются корнями уравнения:
,
если
,
или
,
;
,
если
,
или
,
;
,
если
,
или
,
.
Циклотомические
изменения значений
не влияют на вычисление линейной
сложности. Кроме того,
,
если
[10], тогда
.
По этому,
,
по (7) - корни полином-многочлена
,
который разложен на множители в области
следующим образом
.
Это точно соответствует результатам
последнего, четвертого случая.
1.6.3.
Пусть
,
для
.
В этом подразделе и в следующих мы
ограничимся с исследованием значений
полином-многочлена двоичной
последовательности, потому что линейная
сложность троичных последовательностей
когда
в области
был изучен в [11]. Циклотомические числа
четвертого порядка сформированы
разложением:
[10], где
- целые числа, и зависят от
,
совпадает с
.
Если
даже является следствиями подраздела
1.6.1,
.
По определению вспомогательного
полином-многочлена,
,
где
(1.6.5)
Для циклотомические числа четвертого порядка, сформированны
После
вычисления их модуля два остатка
,
где
являются целыми числами, по теореме 1.2
и формуле (1.6.5), мы имеем
(1.6.6)
После изучения (1.6.5) и (1.6.6), в зависимости от модуля остатков мы получаем:
1).
, если
,
;
2).
, если
,
;
3).
, если
,
,
где
является корнем уравнения:
;
4).
, если
,
.
Если - нечетный, тогда как и показанно в разделе 1.6.1, . В этом случае, то же самое что касается значения .
5).
, если
,
где
является корнем уравнения:
or
,
где
является корнем уравнения
.
Если
,
где
является корнем первого порядка, иначе
второго. Полученные формулы для
позволят вычислять линейную сложность
и минимальный полином-многочлен любой
двоичной последовательности простого
периода
,
построенный в циклотомических классах
четвертого порядка, включая изученные
в [5]. Особенно, если
является характерной последовательностью
биквадратного класса остатка, тогда
,
если
или
.
1.6.4.
Пусть
,
для
.
Циклотомические числа 6 порядка
сформированы разложением:
[12], где
являются целыми числами, в зависимости
от
.
По
определению вспомогательного
полином-многочлена мы имеем
.
Которые показывают в подразделе 1.6.2
значения
завищащие от
,
где
определена от разложения
.
От отношений между
и
[10] мы получаем это, тогда и только тогда,
когда
.
Следовательно, если
,
когда
и
(1.6.7)
Если
является нечетным, тогда
и циклотомические числа шестого порядка
определены [12]:
После вычисления их по модулю два по теореме 1.1, мы добираемся
(1.6.8)
Решение (1.6.7) и (1.6.8) приводит к следующему:
1).
, если
,
,
где
i
корень уравнения:
;
2).
, если
,
;
3).
, если
,
;
4).
, если
,
.
Полученные
значения
с данными предположениями, позволят
вычислить линейную сложность любой
двоичной последовательности, постоянной
на циклотомических числах шестого
порядка, включая последовательности
[4]. Случаи, когда
четно,
изучены таким же образом.
1.6.5.
Пусть
,
для
.
Циклотомические числа восьмого порядка
определены разложением
[10, 13] , где
являются целыми числами, и зависят от
остатка
по модулю четыре. В этом подразделе мы
ограничимся исследованием значений
только для двоичных последовательностей
с нечетными значениями
и
.
Как для результатов подраздела 1.6.3 мы имеем
(1.6.9)
Если
является нечетным и
,
тогда от разложения
мы получаем
,
где
являются целыми числами. После вычисления
модуля двух остатков циклотомических
чисел восьмого порядка
По теореме 1.1 и формуле (1.6.9) мы добираемся
(1.6.10)
Так,
по (1.6.9) и (1.6.10) следуя за этим, числа
принадлежат множеству
,
где корень полином-многочлена
,
и зависят от остатков
по модулю два. Чтобы упорядочить их, мы
используем заключение теоремы 1.1. В
данном случае
Наконец мы получаем:
1).
, или
,
;
2).
, или
,
;
3).
, или
,
;
4).
, или
,
;
5).
, или
,
;
6).
, или
,
;
7).
, или
,
;
8).
, или
,
.
Лемма
1.5.
Если
является характерной последовательностью
набора различных остатков, тогда его
линейная сложность равняется
,
и в случае, если, когда
соответствует
набору разных остатков и ноля, тогда
.
Док.
Класс остатков
в различных положониях, если
[10]. Поэтому,
,
тогда среди значений
есть
пять нолей. По лемме 1.5,
и формуле (1.5.3) следует доказательство
первого утверждения леммы 1.4. Второе мы
доказываем почти таким же способом.
Минимальный полином-многочлен
последовательности
может быть вычислен в случае (1.5.4).
1.7
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ
ДВОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДАМИ
И
В этом разделе мы
будем демонстрировать что полученные
более ранние результаты относительно
значений
позволит нам в некоторых случаях выбрать
двоичные последовательности с периодом
, где
имеет сложную линейную сложность.
Согласно китайской
Теореме Остатка, кольца остатков
является изоморфным к прямому продукту
[9]. Пусть
,
где
,
как прежде, циклотомические классы
порядка
,
является подмножеством индексов
.
Исследуем двоичную последовательность , определенную как
(1.6.11)
Для последовательности формула (1.5.2) будет похожа
(1.6.12)
Следовательно, в
этом случае , вычисление линейной
сложности уменьшено до определения
общих корней полином-многочленов
и
,
приводит к исследованию значений
.
Лемма 1.6.
.
Докозательство.
Для
,
когда
.
Когда
принимает значения от
,
тогда остаток
принимает значения
от
,
которые должны были быть доказан в
лемме.
Следующая лемма следует из лемм 1.5 и 1.6.
Лемма 1.7. Если полином-многочлен последовательности , т
Лемма 1.6 показывает, значения полином-многочлена последовательности которая может быть найдена, в результате уже известных значений .
Лемма 1.8.
Если двоичная последовательность
определенна в (1.6.11)
для подмножества
равная
,
где
-циклотомические
классы четвертого порядка,
- различных индексов от ноля до трех,
тогда его линейная сложность
,
if
или
и
,
если
или
.
Докозательство.
По лемме 1.4,
.
Извлекая пользу из значений
найденные в подразделе 1.6.4, после
подведения итогов мы получаем
равные нолю, если
или
и равняется
.
Просто удостовериться
этому, когда
значения
и единственность - кореня со степенью
два. По этому и формуле (1.6.12)
мы получаем утверждение леммы 1.8.
Лемма 1.9.
Если двоичная последовательность
определена циклотомическими классами
четвертого порядка и формулой (1.6.11)
когда
or
и
,
,
,
,
тогда его линейная сложность
.
То
же самое, доказывая лемму 1.9 мы
удостоверяемся, что если утверждение
леммы 1.6 верно, то
где
,
и
и единственность- кореня со степенью
четыре.