1 Оценка моментных функций

Пусть дана выборка из отсчётов стационарного в широком смысле эргодического дискретного случайного процесса . Оценим моментные функции этого процесса.

Выборочное среднее – оценка математического ожидания – рассчитывается по формуле: ,

где – соответствующие компоненты вектора ,

– объем выборки.

Выборочное среднее было найдено с помощью функции математического пакета Scilab ( – выборка). Получаем .

Формула для расчёта исправленной выборочной дисперсии имеет вид: ,

Исправленная выборочная дисперсия была найдена с помощью функции математического пакета Scilab ( – выборка). Получаем: .

В соответствии с оценкой дисперсии выберем формулу для оценки корреляционной функции : . Это исправленная выборочная корреляционная функция.

В соответствии с оценкой дисперсии формула для оценки нормированной корреляционной функции имеет вид: .

В таблицу 1 запишем 11 первых значений функции и функции :

Таблица 1 – Первые значения функции и функции

	0	1	2	3	4	5
	118.9501	32.0712	-15.5115	47.7474	27.6479	-18.5668
	1.0000	0.2696	-0.1304	0.4014	0.2324	-0.1561
	6	7	8	9	10
	12.4381	20.0010	-10.9390	0.9184	15.3347
	0.1046	0.1681	-0.0920	0.0077	0.1289

Радиус корреляции случайного процесса рассчитывается по формуле: .

В результате получаем: .

Изобразим графически на рисунке 1 оценку корреляционной функции:

Рисунок 1 – Оценка нормированной корреляционной функции

2 Построение моделей авторегрессии ар(m)

Теперь построим все модели АР для порядка не превышающего 3, где t пробегает целые значения, а - это белый шум с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Каждый раз будем руководствоваться следующим методом:

Сначала отыщем коэффициенты из системы линейных уравнений

Выпишем для примера систему уравнений для модели АР(3). , т. е.

Полученные модели проверяем на устойчивость исходя из условия, что все корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости. Результаты вычислений занесём в таблицу 2.

Таблица 2 – Результат построения моделей АР

Порядок модели
1	0.2696			10.5025
2	0.3287	-0.2190		10.2475
3	0.4535	-0.4064	-0.5701	8.4190

Проанализируем качество построенных моделей, сравнивая их нормированную корреляционную функцию с оценкой нормированной корреляционной функции исходного процесса . Для сравнения возьмём первые 10 значений нормированных корреляционных функций и вычислим среднее квадратическое отклонение .

(m)-выборочная нормированная корреляционная функция исходного процесса, (m)-теоретическая нормированная корреляционная функция, M,N-порядок модели АРСС.

Результаты вычислений занесём в таблицу 3.

Таблица 3 – Оценка качества модели АР через СКО

M
0	0.3936
1	0.3277
2	0.4038
3	0.0770

В таблице зеленым цветом отмечена лучшая модель АР. Это модель АР(3).