3 Построение моделей скользящего среднего сс(n)

Теперь построим все модели СС для порядка N не превышающего 3, где t пробегает целые значения, а - это белый шум с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а - вещественные параметры.

Сначала отыщем коэффициенты из системы линейных уравнений

Выпишем для примера систему уравнений для модели СС(2).

,т.е

Результаты вычислений занесём в таблицу 4.

Таблица 4 – Результат построения моделей СС

Порядок модели
0	10.9064
1	10.4672	3.0640
2	-1.5305	3.7273	10.1348
3	Модель не существует

Проанализируем качество построенных моделей, сравнивая их нормированную корреляционную функцию с оценкой нормированной корреляционной функции исходного процесса . Для сравнения возьмём первые 10 значений нормированных корреляционных функций и вычислим среднее квадратическое отклонение .

(m)-выборочная нормированная корреляционная функция исходного процесса, (m)-теоретическая нормированная корреляционная функция, M,N-порядок модели АРСС.

Результаты вычислений занесём в таблицу 5.

Таблица 5 – Оценка качества модели СС через СКО

M
0	0.3936
1	0.3209
2	0.3039

В таблице зеленым цветом отмечена лучшая модель CC. Это модель CC(2).

4 Построение смешанных моделей авторегрессии – скользящего среднего (арсс(m, n))

Теперь построим все модели АРСС для порядков и не превышающих 3. Здесь – это белый шум с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Метод 1

Сначала отыщем коэффициенты из системы линейных уравнений .

Далее подставляем в систему . Здесь – смешанная корреляционная функция процессов и , формально выражающаяся как , где и – математические ожидания соответствующих случайных процессов, при чём, как указано выше, .

Для отыскания воспользуемся следующей системой уравнений: . Для определённости . Подставляя из этой с истемы в предыдущую, получаем нелинейную систему уравнений относительно .

Метод 2

. (1)

Шаг 1. Из системы M линейных уравнений

находятся оценки M неизвестных коэффициентов .

Шаг 2. Из исходной последовательности строится последовательность с использованием уравнения (1).

Шаг 3. Строится оценка корреляционной функции случайной последовательности .

Шаг 4. Из системы (N+1) нелинейных уравнений

находятся оценки (N+1) неизвестных коэффициентов .

Полученные модели проверяем на устойчивость исходя из условия, что все корни характеристического уравнения

лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости.

Приведем для примера решение систем уравнений для моделей АРСС(3,1):

Метод 1

где:

Все системы решаем численными методами. Полученные модели проверяем на устойчивость исходя из условия, что все корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости.

Результаты вычислений занесём в таблицу 6

Таблица 6 – Результат построения моделей АРСС(1 метод)

Порядок модели		Параметры модели
M	N
0	0					10.9064
0	1					3.0640		10.4672
0	2					10.1348		3.7273	-1.5305
0	3	Модель не существует
1	0	0.2696				-10.5025
1	1	Модель не существует
1	2	Модель не устойчива
1	3	Модель не существует
2	0	0.3287	-0.2190			10.2475
2	1	Модель не устойчива
2	2	Модель не существует
2	3	Модель не существует
3	0	0.4535	-0.4064	0.5701		-8.4190
3	1	0.1429	-0.3043		0.5021		4.0607	8.0325
3	2	0.1415	-0.3075	0.5027		0.0496		4.0611	8.0381
3	3	0.1443	-0.3111		0.4967		0.1089	0.0450		4.0508		8.0316

.

Метод 2

Из системы 3 линейных уравнений

находятся оценки 3 неизвестных коэффициентов .

Из исходной последовательности  строится последовательность  с использованием уравнения

Строится оценка  корреляционной функции случайной последовательности .

Из системы 2 нелинейных уравнений

находятся оценки 2 неизвестных коэффициента .

Все системы решаем численными методами. Полученные модели проверяем на устойчивость исходя из условия, что все корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости.

Результаты вычислений занесём в таблицу 7

Таблица 7 – Результат построения моделей АРСС(2 метод)

Порядок модели		Параметры модели
M	N
0	0					10.9053
0	1					3.0630		10.4663
0	2					10.1344		3.7257	-1.5297
0	3	Модель не существует
1	0	0.2696				-10.5016
1	1	Модель не существует
1	2	Модель не устойчива
1	3	Модель не существует
2	0	0.3287	-0.2190			10.2469
2	1	Модель не устойчива
2	2	Модель не существует
2	3	Модель не существует
3	0	0.4535	-0.4064	0.5701		-8.4212
3	1	0.1429	-0.3043		0.5021		4.0551	8.0367
3	2	0.1415	-0.3075	0.5027		0.0503		4.0556	8.0424
3	3	0.1443	-0.3111		0.4967		0.1088	0.0459		4.0452		8.0359

Будем анализировать качество построенных моделей, сравнивая их нормированную корреляционную функцию с оценкой нормированной корреляционной функции исходного процесса . Для сравнения возьмём первые 10 значений нормированных корреляционных функций и для каждой модели вычислим среднее квадратическое отклонение .

Результаты вычислений занесём в таблицу 8.

Таблица 8 – Оценка качества моделей АРСС через СКО

M	N
	0	1	2	3
0	0.3936	0.3209	0.3039	-
1	0.3277	-	∞	-
2	0.4038	∞	-	-
3	0.0770	0.0008	0.0008	0.0010

В таблице зеленым цветом отмечена лучшая модель АРСС. Это модель АРCC(3,1).

Теперь построим график теоретической нормированной корреляционной функции для модели АРСС(3,1) и изобразим его на рисунке 2. Будем считать, что для всякой модели АРСС(M, N) (N+M+1) значение нормированной корреляционной функции совпадает, а остальные значения отыщем из системы: .

Запишем первые 11 значений в таблицу 9.

Таблица 9 – Первые 11 значений теоретической нормированной корреляционной функции модели АРСС(3,1)

1.0000	0
0.2696	1
-0.1304	2
0.4014	3
0.2324	4
-0.1542	5
0.1086	6
0.1790	7
-0.0848	8
-0.0121	9
0.1139	10

Рисунок 2– Оценка теоретической нормированной корреляционной функции модели АРСС(3,1)