5.2. Бесконечных произведений

Пример 1. Исследовать на сходимость бесконечное произведение

Решение. Проверим необходимое условие сходимости. , отсюда следует, что исходное произведение расходится к нулю.

Пример 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимости бесконечное произведение

Решение. Бесконечное произведение абсолютно сходится, если сходится ряд

,

а этот числовой ряд расходится по интегральному признаку Коши-Маклорена, однако же ряд сходится по признаку Лейбница. Следовательно, исходное бесконечное произведение сходится условно.

Пример 3. Показать на примере сходящегося бесконечного произведения ( ) выполнение первого свойства сходящихся бесконечных произведений.

Решение. Остаточное произведение равно (было найдено ранее)

Проверим выполнение первого свойства сходящихся бесконечных произведений: , а значит, свойство выполняется.

Пример 4. Исследовать на сходимость бесконечное произведение

Решение. Учитывая связь между сходящимися бесконечными произведениями и числовыми рядами, поскольку для любого положительного k остаётся строго положительным, то сходимость исходного произведения будет эквивалентна сходимости ряда , а это обобщённый гармонический ряд. Следовательно, сходится, если , и расходится, если .

Пример 5. Установить сходимость бесконечного произведения

Решение. Это бесконечное произведение расходится, так как его частичное произведение , а последовательность не имеет предела.

Пример 6. Установить сходимость бесконечного произведения

.

Решение. Это бесконечное произведение расходится, так как и, следовательно,

Пример 7. Установить сходимость бесконечного произведения

.

Решение. Частичное произведение для этого бесконечного произведения имеет вид

Поэтому т.е. бесконечное произведение сходится и его значение равно

21