5. Применять выше указанные теоремы и свойства при исследовании на сходимость

5.1. Числовых рядов

Пример 1. Сходимости какой числовой последовательности равносильна сходимость ряда .

Решение. Поскольку члены данного ряда образуют геометрическую прогрессию с первым членом и таким же знаменателем, то . Поскольку , то последовательность сходится, а значит, исходя из связи между числовыми рядами и числовыми последовательностями, сходится исходный числовой ряд. Значит, искомая последовательность

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Воспользуемся необходимым условием сходимости числового ряда: , а значит, исходный числовой ряд расходится.

Пример 3. Доказать, что ряд

расходится.

Решение. Применяя критерий Коши, предстоит доказать, что : .

Возьмём n, кратное трём, тогда: .

Взяв , получаем, что сумму ряда можно оценить снизу, как , то есть, если взять за число из интервала , то оно будет удовлетворять условию, а значит, числовой ряд расходится.

Пример 4. Доказать, что ряд

сходится.

Решение. Воспользуемся критерием Коши, то есть нужно показать, что . Тогда . , то есть для любого ε можно отыскать соответствующее . Значит, ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Исходный ряд можно представить в виде . Заметим, что ряд сходится по признаку Лейбница. Тогда, по первому простейшему свойству сходящихся числовых рядов, ряд сходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость числовой ряд

.

В случае сходимости, найти его сумму.

Решение. Нетрудно заметить, что члены с нечётными номерами образуют геометрическую прогрессию с первым членом и таким же знаменателем, а члены с чётными номерами образуют геометрическую последовательность с первым членом и таким же знаменателем. Каждая их прогрессий сходится, поскольку её знаменатель по модулю меньше единицы, следовательно, сходится и их сумма.

Тогда сумму числового ряда можно найти как сумму двух геометрических прогрессии: + = = .

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Даламбера в предельной форме к этому положительному числовому ряду. Тогда необходимо найти предел . А , тогда по признаку Даламбера исходный ряд сходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Для решения задачи применим признак Коши в предельной форме к этому положительному числовому ряду. Найдём соответствующий предел . Поскольку , то по признаку Коши исходный ряд сходится.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Применим признак Раабе к этому положительному числовому ряду. Составим выражение Раабе . В пределе при , стремящемся к ∞, это выражение даст . А , значит, по признаку Раабе, исходный ряд сходится.

Пример 10. Исследовать на сходимость числовой ряд

Решение. Рассмотрим функцию , тогда . Из расходимости несобственного интеграла следует по интегральному признаку Коши-Маклорена расходимость числового ряда

.

Пример 11. Доказать условную сходимость по определению ряда .

Решение. Гармонический ряд расходится по критерию Коши, но вот ряд сходится по признаку Лейбница. Таким образом, по определению, данный ряд сходится условно.

Пример 12. Исследовать на сходимость, абсолютную и условную сходимость ряд

.

Решение. Рассмотрим ряд

Этот ряд сходится по признаку Коши для положительных числовых рядов. Отсюда следует, что сходится и исходный ряд.

Пример 13. Зная, что

,

показать, что ряд

,

полученный перестановкой членов этого ряда сходится к числу .

Решение. Будем обозначать n-ную частичную сумму исходного ряда , а искомого ряда – .

.

Итак, . Далее, очевидно, что

, .

Поскольку , то . Таким образом, ряд сходится и имеет сумму, равную .

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Воспользуемся признаком Дирихле. За возьмём , а за – . Очевидно, что монотонно стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности. Докажем, что суммы ограничены в совокупности. Заметим, что функция периодическая, причём для любого натурального , . Таким образом, любые восемь подряд идущих членов числовой последовательности будут давать в сумме ноль. Тогда если ( ), то , то есть сумме не более восьми членов, каждый из которых меньше единицы. Таким образом, сумма ограничена в совокупности, а значит, исходный ряд сходится по признаку Дирихле.

Пример 15. Показать, что если ряды и сходятся только условно, почленное перемножение этих рядов даже указанным в теореме Мертенса способом приводит, вообще говоря, к расходящемуся ряду.

Решение. В качестве каждого из рядов и возьмём условно сходящийся (по признаку Лейбница) ряд . Тогда член ряда произведения . То есть , а значит, необходимое условие сходимости числового ряда не выполнено, то есть ряд расходится.