2.4. Нахождение суммы числового ряда
Пример 1. Найти сумму S числового ряда
.
Решение.
Пример 2. Найти сумму S числового ряда
Решение. Сумма данного ряда
представляет собой сумму элементов
бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с
и
Поэтому
Пример 3. Найти сумму ряда
Решение. Сведем этот ряд к сумме
членов бесконечно убывающих геометрических
прогрессий
.
Пример 4. Найти сумму ряда
.
Решение.
Преобразуем
выражение
следующим образом:
Отсюда получаем, что
.
Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 2.
Пример 5. Найти сумму ряда
Решение.
2.5. Нахождение n-го частичного произведения бесконечного произведения
Пример 1. Найти n-ое частичное произведение
Решение.
Пример 2. Найти частичное произведение
Решение.
Пример 3. Найти n-ое частичное произведение
Решение.
Пример 4. Найти n-ое частичное произведение
Решение.
2.6. Нахождение n-ого остаточного бесконечного произведения
Пример 1. Найти бесконечное произведение
(
)
и его остаточное произведение.
Решение. Найдём n-ное частичное произведение:
.
Умножая
обе части равенства на
и последовательно используя формулу
для синуса двойного угла
,
получим:
.
Тогда бесконечное произведение находится как
.
Значит,
.
По свойствам сходящихся бесконечных произведений найдём остаточное произведение.
.
3. Оценка n-го остатка числового ряда
Пример 1. Сколько членов ряда
нужно
взять, чтобы получить значение суммы
ряда с точностью до
Решение. В данном случае имеем
и
Найдем
такое значение
,
чтобы выполнялось неравенство
.
Решая это неравенство, получаем, что
.
Поэтому
.
Итак, для получения указанной выше
точности надо взять 1001 член ряда.
Пример 2. Сколько членов ряда
нужно
взять, чтобы получить значение суммы с
точность до
?
Решение. Мы имеем:
Так как
то
Поэтому нам нужно выбрать такое значение , чтобы выполнялось неравенство
Решая
это неравенство, получаем, что
.
Поэтому достаточно взять 8 членов ряда.
Пример 3. n-ая частичная сумма ряда
отличается от суммы этого ряда на величину меньше 0.001 начиная с n равного
Решение. В данном случае имеем
,
-
непрерывная и невозрастающая на
,
тогда
.
.
Для того чтобы n-ая частичная сумма ряда отличалась от суммы этого ряда на величину меньше 0.001 нужно чтобы выполнялось неравенство:
Т.к.
число
чуть меньше числа 7 и n-целое
натуральное число, тогда
.
Значит
с
частичная сумма ряда
будет отличаться от суммы этого ряда
на величину меньше 0.001.
Пример 4. n-ая частичная сумма ряда
отличается от суммы этого ряда на величину меньше 0.01 начиная с n равного
Решение. В данном случае
Тогда
Значит
с
частичная сумма ряда
будет отличаться от суммы этого ряда
на величину меньше 0.01.
Ответ:
4. Устанавливать
4.1. Сходимость числового ряда
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
.
Следовательно, ряд сходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Преобразуем выражение следующим образом:
Отсюда получаем, что
.
Следовательно ряд сходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Сравним заданный ряд со
сходящимся рядом
:
.
При всех значениях n:
.
По теореме о сравнении рядов, заданный ряд сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Применим признак Даламбера
Так как
,
то ряд сходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
если
Решение.
то
поэтому ряд сходится.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Функция
при
положительна,
непрерывна и монотонно убывает, поэтому
для исследования данного ряда на
сходимость можно воспользоваться
интегральным признаком. Находим:
Таким образом, соответствующий несобственный интеграл сходится, значат, данный ряд также сходится.
4.2. Расходимость числового ряда
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
То
есть, предел
не существует. И, следовательно, ряд
расходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Следовательно, ряд расходится
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Находим предел общего члена
при
:
.
Таким образом,
при
.
Не выполняется необходимое условие
сходимости числового ряда и, следовательно,
ряд расходится.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Докажем, что ряд расходится
Положим
.
Оценим выражение
Получили,
что при
и
и
выполняется неравенство
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Сравним этот ряд с рядом
.
При всех значениях n:
.
Ряд расходится, следовательно, по теореме о сравнении рядов, заданный ряд тоже расходится.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Находим:
.
По признаку Коши, ряд сходится.
4.3. Абсолютную сходимость числового ряда
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Для исследования ряда на абсолютную сходимость воспользуемся признаком Коши
. Значит, ряд сходится абсолютно.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Исследуем на абсолютную сходимость
Т.к.
,
то ряд
сходится.
Значит, ряд сходится абсолютно.
Пример 3. Доказать абсолютную сходимость по определению ряда
Решение. Данный ряд сходится, так
как является рядом Лейбница. Ряд
сходится, поскольку он является обобщённым
гармоническим, причём
.
Получается, что исходный ряд сходится
абсолютно по определению.
4.4. Условную сходимость числового ряда
Пример 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
.
Решение. Данный ряд знакочередующийся и его члены по абсолютной величине убывают, кроме того,
Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится.
Для исследования ряда на абсолютную сходимость исследуем на сходимость соответствующий ему знакоположительный ряд
.
Этот
ряд получается из гармонического ряда
в результате умножения всех его членов
на
.
Т.к. гармонический ряд расходится, то и
наш вспомогательный ряд также расходится.
Таким образом ряд
сходится условно.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Значит ряды
и
ведут себя одинаково. - ряд Лейбница, сходится условно, значит и исходный ряд сходится условно.
4.5. Абсолютную сходимость бесконечного произведения
Пример 1. Выяснить, при каких
сходится, абсолютно сходится и расходится
бесконечное произведение
.
Решение. При
это произведение абсолютно сходится,
так как сходится ряд
.
При
оно сходится условно, т.к. сходятся ряды
и
Наконец,
при
оно расходится, поскольку ряд
сходится, а ряд
расходится.
Пример 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость бесконечное произведение
.
Решение. Так как
для всех
,
то сходимость этого произведения может
быть только абсолютная. Согласно критерию
абсолютной сходимости, рассмотрим ряд
.
Так как в силу интегрального признака
этот ряд сходится (абсолютно) при
и расходится при
,
то и данное бесконечное произведение
абсолютно сходится при
и расходится при
.
4.6. Условную сходимость бесконечного произведения
Пример 3. Установить абсолютную/условную бесконечного произведения.
Решение. Бесконечное произведение
условно сходится, поскольку расходится
ряд
.
Данный ряд расходится, так как он больше
ряда
,
который расходится.
Ответ: бесконечное произведение условно сходится.